Теория:
Найдем \(I_R\) (рис. \(1\)), если известны \(\varepsilon\)\(_1\), \(\varepsilon_2\), \(r_1\), \(r_2\), \(R\).
Рис. \(1\). Изображение электрической цепи
1. На рисунке \(2\) обозначены произвольные направления сил токов для конкретных участков контура (\(I_1\), \(I_2\) и \(I_3=I_R\)) и направление обхода контуров \(ABCD\) и \(ADEF\) по часовой стрелке.
Рис. \(2\). Изображение сил токов и направления обхода контуров
2. Первое уравнение Кирхгофа для узла \(A\) с учётом знаков:
\(I_2-I_1-I_3=0.\) (\(1\))
3. Второе уравнение Кирхгофа для контура \(ABCD\) с учётом знаков:
\(\varepsilon_2-\varepsilon_1=I_1r_2+I_2r_1\). (\(2\))
4. Второе уравнение Кирхгофа для контура \(ADEF\) с учётом знаков:
\(\varepsilon_1=-I_2r_1-I_3R\). (\(3\))
5. Проверяем равенство количества уравнений (их \(3\)) количеству неизвестных физических величин (\(3\) — \(I_1\), \(I_2\), \(I_3\)).
6. Сложим левые и правые части формул (\(2\)) и (\(3\)):
\(\varepsilon_2=I_1r_2-I_3R\). (\(4\))
7. Выражаем \(I_1\) из формулы (\(4\)):
\(I_1=\frac{I_3R+\varepsilon_2}{r_2}\). (\(5\))
8. Выражаем \(I_2\) из формулы (\(3\)):
\(I_2=\frac{-\varepsilon_1-I_3R}{r_1}\). (\(6\))
9. Подставляем формулы (\(5\)) и (\(6\)) в (\(1\)):
\(\frac{-\varepsilon_1-I_3R}{r_1}-\frac{I_3R+\varepsilon_2}{r_2}-I_3=0.\) (\(7\))
10. Выражаем \(I_3\) из формулы (\(7\)):
\(I_3=-\frac{\varepsilon_2r_1+\varepsilon_1r_2}{Rr_1+Rr_2+r_1r_2}\). (\(8\))
Знак «\(-\)» в формуле (\(8\)) показывает, что истинное направление тока \(I_R=I_3\) противоположно выбранному на рисунке \(2\).
Источники:
Рис. 1. Изображение электрической цепи. © ЯКласс.
Рис. 2. Изображение сил токов и направления обхода контуров. © ЯКласс.