1.
Закон сложения скоростей
Теория
Чтобы найти скорость движения одного тела относительно другого, необходимо сложить векторы этих скоростей.
Классический закон сложения скоростей гласит: скорость тела относительно неподвижной системы отсчёта равна геометрической сумме двух скоростей — скорости тела относительно подвижной системы отсчёта и скорости подвижной системы отсчёта относительно неподвижной.
Вспомним, как складываются векторы, направленные в одну сторону.
Пример:
легкоатлет бежит в ту сторону, куда дует ветер. Определим, куда направлена результирующая скорость легкоатлета.
Вспомним, как складываются векторы. Пусть это будут векторы скорости и .
Вот они направлены в одну сторону, например, так:
Рис. \(1\). Векторы скорости, расположенные на параллельных прямых |
Для того чтобы их сложить, нужно выстроить их друг за другом.
Это называется сложением векторов по правилу треугольника.
Должно получиться так:
Рис. \(2\). Векторы скорости друг за другом
В результате сложения таких векторов должен получиться один результирующий.
Покажем его красным цветом. Это вектор .
Он получился, когда мы соединили начало первого вектора с концом последнего.
Рис. \(3\). Вектор, получившийся в результате сложения
Два вектора и сложились, и получился один вектор . Всё просто.
Бывает, что векторы могут быть направлены в разные стороны.
Пример:
легкоатлет бежит против ветра. Определим направление результирующей скорости.
Скажем, вот так:
Рис. \(4\). Векторы направлены в разные стороны, расположены на параллельных прямых |
Будем пробовать их складывать по известному правилу — правилу треугольника.
Построим векторы друг за другом. Должно получиться примерно так:
Построим векторы друг за другом. Должно получиться примерно так:
Рис. \(5\). Выстроенные вместе векторы
Снова соединим начало первого вектора с концом последнего.
Чтобы было лучше видно, изобразим результирующий вектор красным цветом.
Чтобы было лучше видно, изобразим результирующий вектор красным цветом.
Рис. \(6\). Результирующий вектор (\(1\))
Два вектора и сложились, и получился один вектор .
Может случиться, что векторы лежат не так ровно, а, скажем, под углом \(90°\) друг к другу.
Пример:
речной трамвайчик пересекает реку перпендикулярно течению. Определим направление скорости трамвайчика относительно берега.
Рис. \(7\). Векторы, перпендикулярные
друг другу
Перед нами два вектора — и . Как же их сложить?
Снова выстраиваем их друг за другом, чтобы получились стороны треугольника.
Или соединяем начала этих векторов — тогда получится правило параллелограмма.
Рис. \(8\). Соединённые векторы
Правило треугольника нам уже знакомо. Просто соединяем начало первого вектора с концом последнего.
Для сложения по правилу параллелограмма дорисовываем ещё две стороны напротив уже имеющихся двух.
Результат сложения не зависит от выбранного правила сложения — правила треугольника или правила параллелограмма
Должен получиться один и тот же вектор . Изобразим его розовым.
Рис. \(9\). Результирующий вектор по правилу
параллелограмма
Есть ещё один интересный случай, когда векторы направлены так, что прямоугольный треугольник построить не получается.
Например:
Рис. \(10\). Векторы, угол между которыми не равен \(90°\)
Следуем правилу треугольника или параллелограмма (как в случае, когда угол \(90°\)).
 |  |
Рис. \(11\). Векторы после соединения
Теперь легко выстраиваем вектор .
 |  |
Рис. \(12\). Результирующий вектор (\(2\))
А что, если угол между векторами нужно найти или он задан, а найти необходимо результирующий вектор скорости и т. д.? Что в этом случае поможет?
Всё просто. Для случая, когда векторы образуют прямоугольный треугольник, используем определение синуса:
или косинуса:
.
Рис. \(13\). Синус и косинус угла
В остальных случаях применяем теорему косинусов:
Рис. \(14\). Теорема косинусов
Теперь можно приступать к решению задач на относительное движение.
Источники:
Рис. 1. Векторы скорости, расположенные на параллельных прямых. © ЯКласс.
Рис. 2. Векторы скорости друг за другом. © ЯКласс.
Рис. 3. Вектор, получившийся в результате сложения. © ЯКласс.
Рис. 4. Векторы направлены в разные стороны, расположены на параллельных прямых. © ЯКласс.
Рис. 5. Выстроенные вместе векторы. © ЯКласс.
Рис. 6. Результирующий вектор (1). © ЯКласс.
Рис. 7. Векторы, перпендикулярные друг другу. © ЯКласс.
Рис. 8. Соединённые векторы. © ЯКласс.
Рис. 9. Результирующий вектор по правилу параллелограмма. © ЯКласс.
Рис. 10. Векторы, угол между которыми не равен 90°. © ЯКласс.
Рис. 11. Векторы после соединения. © ЯКласс.
Рис. 12. Результирующий вектор (2). © ЯКласс.
Рис. 13. Синус и косинус угла. © ЯКласс.
Рис. 14. Теорема косинусов. © ЯКласс.