Теория:
Движение по кругу — это всегда движение с ускорением?
Представь, что ты едешь на машине. Если ты едешь прямо и нажимаешь на газ, то чувствуешь, как тебя вдавливает в кресло. Если ты резко тормозишь, тебя бросает вперёд. В обоих случаях меняется величина скорости (ты разгоняешься или тормозишь), поэтому у тебя есть ощущение ускорения.
А теперь представь, что ты едешь с постоянной скоростью, но начинаешь круто поворачивать. Что ты чувствуешь? Тебя начинает кидать в сторону двери, противоположной повороту. В машине возникает ощущение, что тебя что-то тянет к обочине. Это тоже ускорение, хоть спидометр и показывает всё те же \(60\) км/ч.
Скорость — это не только цифра на спидометре. У скорости есть не только величина (например, \(60\) км/ч), но и направление (куда машина едет). Движение по окружности (по кругу) постоянно меняет направление.
Ускорение появляется всегда, когда меняется скорость. А раз при движении по кругу постоянно меняется направление скорости, значит, есть и ускорение. Оно есть всегда, даже если ты едешь с постоянной скоростью по кругу.
Куда направлено это ускорение? Вспомни ощущение в машине на повороте. Тебя тянет к наружной стороне круга. Но само ускорение направлено строго наоборот — к центру окружности. Именно центростремительная сила (трение шин об асфальт) тянет машину к центру, не давая ей улететь в кювет по прямой. Поэтому это ускорение и называется центростремительным.
Величина этого ускорения зависит от того, насколько быстро ты едешь (линейная скорость \(v\)) и от крутизны поворота (радиуса окружности \(R\)). Она вычисляется по формуле:
.
Чем больше скорость, тем больше ускорение; чем круче поворот (меньше радиус), тем ускорение тоже больше.
Для движения тела по окружности вводят ещё один вид скорости — угловую скорость.
Угловой скоростью тела при равномерном вращении называется величина, равная отношению угла поворота тела к промежутку времени , за который этот поворот произошёл:
.
Единица измерения в СИ — \([\)\(]\) \(=1\frac{рад}{с}\).
Единица измерения в СИ — \([\)\(]\) \(=1\frac{рад}{с}\).
При совершении одного оборота (откуда начало двигаться тело, туда и вернулось) угол составляет \(2\), при этом время одного оборота называют периодом обращения.
Обозначается период — \(T\).
Единица измерения в СИ — секунда [с].
Обозначается период — \(T\).
Единица измерения в СИ — секунда [с].
\(T = \frac{t}{N}\),
где \(t\) — время движения, \(N\) — число оборотов.
где \(t\) — время движения, \(N\) — число оборотов.
Период связан с частотой вращения — числом оборотов за \(1\) с:
или .
или .
Если вращение происходит с постоянной угловой скоростью , то центростремительное ускорение можно выразить и так:
.
Пример:
1. Луна. Она не падает на Землю, потому что движется по кругу. Земля притягивает её к себе (даёт центростремительное ускорение), заставляя «поворачивать» и всё время лететь по орбите.
2. Автомобиль на кольцевой развязке. Даже если ты едешь с постоянной скоростью, твоё тело чувствует «центробежную» силу (ощущение, что тебя тянет наружу), которая является реакцией на центростремительное ускорение, направленное к центру круга.
3. Грязь из-под колёс. Если колесо буксует, грязь слетает с него не внутрь, а по прямой линии — по касательной к колесу. Это отличная демонстрация того, что в точке отрыва скорость была направлена именно по касательной.
2. Автомобиль на кольцевой развязке. Даже если ты едешь с постоянной скоростью, твоё тело чувствует «центробежную» силу (ощущение, что тебя тянет наружу), которая является реакцией на центростремительное ускорение, направленное к центру круга.
3. Грязь из-под колёс. Если колесо буксует, грязь слетает с него не внутрь, а по прямой линии — по касательной к колесу. Это отличная демонстрация того, что в точке отрыва скорость была направлена именно по касательной.
Когда мы смотрим на всё тело целиком
До этого мы говорили о движении одной точки. А как описать движение целого предмета, например летящего самолёта или крутящегося колеса?
Для этого рассматривают абсолютно твёрдое тело — это такая идеальная модель, где расстояние между любыми двумя точками тела никогда не меняется (тело не деформируется). В природе таких нет, но для многих задач это удобное допущение.
Для этого рассматривают абсолютно твёрдое тело — это такая идеальная модель, где расстояние между любыми двумя точками тела никогда не меняется (тело не деформируется). В природе таких нет, но для многих задач это удобное допущение.
У твёрдого тела есть два основных вида движения, которые мы можем наблюдать вокруг: поступательное и вращательное.
1. Поступательное движение: «Все едут в одну сторону».
Это самое простое. Представь, что ты едешь в прямом автобусе по ровной дороге.
Как это выглядит? Любая прямая линия, которую ты мысленно проведёшь на теле (например, линия между рукой и ногой пассажира), остаётся параллельной самой себе на протяжении всего движения. Она не поворачивается.
Что это значит? Если одна точка автобуса (скажем, его нос) проехала \(1\) метр, то и багажник на крыше проехал ровно \(1\) метр. Все точки движутся одинаково: у них одинаковые траектории, скорости и ускорения в любой момент времени.
Чтобы описать такое движение, нам достаточно описать движение всего одной точки этого тела (например, его центра тяжести).
Пример:
1. Кабина колеса обозрения. Она не переворачивается, а всё время висит ровно. Все её точки движутся по одинаковым окружностям.
2. Педаль велосипеда. Пока ты крутишь педали, сама педаль движется поступательно относительно рамы велосипеда (она всегда параллельна земле).
3. Ящик письменного стола. Когда ты его выдвигаешь, он движется поступательно.
2. Педаль велосипеда. Пока ты крутишь педали, сама педаль движется поступательно относительно рамы велосипеда (она всегда параллельна земле).
3. Ящик письменного стола. Когда ты его выдвигаешь, он движется поступательно.
2. Вращательное движение: «Карусель».
Это второй важный случай. Тело вращается вокруг какой-то закреплённой оси.
Это второй важный случай. Тело вращается вокруг какой-то закреплённой оси.
Как это выглядит? Все точки тела описывают окружности. Центры этих окружностей лежат на одной прямой — это и есть ось вращения.
Что здесь важно? Чтобы описать вращение, вводят угловую скорость . Она показывает, на какой угол поворачивается тело за единицу времени .
Угловая скорость одинакова для всех точек вращающегося тела. Например, если колесо делает один оборот в секунду, его угловая скорость равна \(2π\) радиан в секунду (оборот — это \(2π\) радиан).
Точки, которые находятся дальше от оси вращения, движутся быстрее. Их линейная скорость \(v\) связана с угловой скоростью \(ω\) и расстоянием до оси \(R\) простым соотношением:
\(v = ω R\).
Это и объясняет карусель: на краю \(R\) большой, поэтому линейная скорость \(v\) большая; ближе к центру \(R\) маленький — скорость маленькая.
Вращение часто характеризуют периодом \(T\) (время одного полного оборота) и частотой \(ν\) (число оборотов в секунду). Угловая скорость связана с ними так:
\(2πν\).
Пример:
1. Колесо. Чем ближе точка к центру колеса, тем медленнее она движется (линейная скорость меньше), но угловая скорость у неё такая же, как у протектора шины.
2. Вентилятор. Лопасти на концах движутся с огромной скоростью, а мотор в центре — неподвижен, но угловая скорость у них одна.
3. Земля. Точка на экваторе пролетает за сутки \(40~000\) км, а ты, если живёшь не на экваторе, за те же сутки пролетаешь меньше. Но угловая скорость вращения Земли для всех точек на планете одинакова (один оборот в сутки).
2. Вентилятор. Лопасти на концах движутся с огромной скоростью, а мотор в центре — неподвижен, но угловая скорость у них одна.
3. Земля. Точка на экваторе пролетает за сутки \(40~000\) км, а ты, если живёшь не на экваторе, за те же сутки пролетаешь меньше. Но угловая скорость вращения Земли для всех точек на планете одинакова (один оборот в сутки).