Теория:
Газы описываются тремя главными параметрами: давлением (\(p\)), объёмом (\(V\)) и температурой (\(T\)). Как их связать в одной формуле?
Эту задачу решили учёные Клапейрон и Менделеев. Они вывели уравнение состояния идеального газа — формулу, которая связывает между собой все три параметра и позволяет рассчитать один из них, зная два других.
Вспомним, что давление газа зависит от концентрации молекул и температуры:
Эту задачу решили учёные Клапейрон и Менделеев. Они вывели уравнение состояния идеального газа — формулу, которая связывает между собой все три параметра и позволяет рассчитать один из них, зная два других.
Вспомним, что давление газа зависит от концентрации молекул и температуры:
\(p = nkT\),
где \(n\) — концентрация.
где \(n\) — концентрация.
Концентрация — это число молекул в единице объёма:
, где \(N_A\) — постоянная Авогадро, \( m\) — масса газа, \(M\) — молярная масса газа.
, где \(N_A\) — постоянная Авогадро, \( m\) — масса газа, \(M\) — молярная масса газа.
Если мы подставим это в формулу давления и немного преобразуем, получим нечто интересное.
Но чтобы формула была удобной для практики, в неё ввели две новые величины.
Количество вещества (\(ν\)) — сколько молей газа у нас есть.
Универсальная газовая постоянная (\(R\)) — число, которое объединило в себе постоянную Больцмана и число Авогадро:
Но чтобы формула была удобной для практики, в неё ввели две новые величины.
Количество вещества (\(ν\)) — сколько молей газа у нас есть.
Универсальная газовая постоянная (\(R\)) — число, которое объединило в себе постоянную Больцмана и число Авогадро:
\(R =k·N_A=1,38·10^{-23}\) Дж/К \(·6,02·10^{23}\) 1/моль \(= 8,31\) Дж/(моль \(· \) К).
Газовая постоянная \(R = 8,31\) Дж/(моль\(· \) К) называется универсальной, потому что она одинакова для всех газов. Неважно, считаем мы водород, кислород или углекислый газ, — коэффициент \(R\) один и тот же. Это очень удобно.
В итоге родилось главное уравнение:
\(pV = νRT\)
или, если вспомнить, что :
\(pV = νRT\)
или, если вспомнить, что :
.
Это и есть уравнение Менделеева — Клапейрона — основа всех газовых расчётов.
Оно работает как универсальный калькулятор для газов.
Зная всего три величины, всегда можно найти четвёртую.
Зная всего три величины, всегда можно найти четвёртую.
Пример:
1. Сколько воздуха в комнате?
Представь, что тебе нужно узнать массу воздуха в комнате. Взвесить воздух на весах нельзя. Но можно измерить объём комнаты (длину \(×\) ширину \(×\) высоту), узнать температуру и давление (по термометру и барометру). Подставляем всё в уравнение — и получаем массу воздуха! Оказывается, в обычной комнате площадью витает около \(20\)–\(25\) кг воздуха.
Представь, что тебе нужно узнать массу воздуха в комнате. Взвесить воздух на весах нельзя. Но можно измерить объём комнаты (длину \(×\) ширину \(×\) высоту), узнать температуру и давление (по термометру и барометру). Подставляем всё в уравнение — и получаем массу воздуха! Оказывается, в обычной комнате площадью витает около \(20\)–\(25\) кг воздуха.
2. Почему шины нельзя перегревать?
Летом после долгой езды по трассе давление в шинах может повыситься. Почему? Воздух внутри нагревается от трения и солнца. По уравнению \(pV = νRT\): если объём шины (\(V\)) почти не меняется, а температура (\(T\)) растёт, то растёт и давление (\(p\)). Если перегреть шины слишком сильно, давление может стать критическим.
Летом после долгой езды по трассе давление в шинах может повыситься. Почему? Воздух внутри нагревается от трения и солнца. По уравнению \(pV = νRT\): если объём шины (\(V\)) почти не меняется, а температура (\(T\)) растёт, то растёт и давление (\(p\)). Если перегреть шины слишком сильно, давление может стать критическим.
3. Что внутри зажигалки?
В газовой зажигалке — сжиженный газ. Но как только ты нажимаешь на кнопку, часть его испаряется и выходит наружу. Уравнение состояния позволяет рассчитать, сколько молекул вылетит при данной температуре или какое давление будет внутри баллончика, если его нагреть (никогда не бросай зажигалку в огонь — давление разорвёт её!).
В газовой зажигалке — сжиженный газ. Но как только ты нажимаешь на кнопку, часть его испаряется и выходит наружу. Уравнение состояния позволяет рассчитать, сколько молекул вылетит при данной температуре или какое давление будет внутри баллончика, если его нагреть (никогда не бросай зажигалку в огонь — давление разорвёт её!).
Следует добавить, что мы имеем дело с различными состояниями системы.
1. Функциональная закономерность между давлением \(p\), объёмом \(V\) и абсолютной температурой \(T\) называется уравнением состояния, где \(T = t + 273\).
2. Описание разных термодинамических состояний системы:
состояние \(1\) — \(p_1\), \(V_1\), \(T_1\);
состояние \(2\) — \(p_2\), \(V_2\), \(T_2\) и т. д.
3. Уравнение Клапейрона:
\(\frac{pV}{T} = const\) или \(\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}\).
Уравнение Клапейрона позволяет проследить изменение макропараметров системы при переходе от одного состояния к другому.
Обрати внимание!
Уравнение Клапейрона выполняется только при неизменной массе газе.
Уравнение состояния \(pV = νRT\) — это, пожалуй, самая полезная формула в газовой физике. Она как швейцарский нож: подходит для любой задачи, где есть газ. С её помощью инженеры рассчитывают объём баллонов для дайвинга, физики изучают атмосферы планет, а водители понимают, почему манометр показывает разное давление зимой и летом.