4. Закон сохранения энергии в идеальном колебательном контуре

Идеальный колебательный контур — это упрощённая модель, состоящая только из конденсатора ёмкостью \(C\) и катушки индуктивностью \(L\).

Главная особенность такой модели — полное отсутствие активного сопротивления ($R=0$), а значит, и потерь энергии на нагревание проводов. В реальной системе добиться такой характеристики не представляется возможным, но для понимания физики процесса эта абстракция крайне важна.

Рассмотрим превращение энергии в идеальном \(LC\)-контуре поэтапно.

 

С помощью внешнего источника сообщим конденсатору заряд $q_m$. В этот момент ток в цепи отсутствует ($i=0$). Вся энергия сосредоточена в электрическом поле между обкладками конденсатора. Энергия электрического поля определяется формулой:

 

$W_{\text{эл }}=\frac{q_m^2}{2C}$.

 

Если замкнуть конденсатор на катушку, он начнёт разряжаться. В цепи появляется электрический ток. Однако из-за явления самоиндукции ток не может возникнуть мгновенно — катушка препятствует его нарастанию. По мере уменьшения заряда на обкладках энергия электрического поля конденсатора убывает, но одновременно возрастает энергия магнитного поля катушки, создаваемого текущим током:

 

$W_{\text{маг }}=\frac{L{i}^2}{2}$.

 

Таким образом, идёт процесс преобразования энергии: энергия из электрической формы переходит в магнитную.

 

В момент, когда конденсатор полностью разрядится ($q=0$), напряжение на нём станет равным нулю. Энергия электрического поля полностью исчерпана. Однако ток в цепи достигает своего максимального значения $i_m$. Вся энергия, запасённая изначально в конденсаторе, теперь сосредоточена в магнитном поле катушки:

 

$W_{\text{маг }}=\frac{L{i}_m^2}{2}$.

 

Благодаря явлению самоиндукции (стремлению тока поддерживать своё значение), ток не прекращается мгновенно. Он продолжает течь в том же направлении, перезаряжая конденсатор. Теперь энергия магнитного поля начинает убывать, так как ток уменьшается, а на обкладках конденсатора вновь накапливаются заряды, но уже противоположного знака. Это означает возврат энергии в электрическом поле.

Процесс повторяется в обратную сторону. Если бы не было потерь, эти колебания (переход энергии из электрического поля в магнитное и обратно) продолжались бы бесконечно долго.

 

В любой момент времени сумма энергий электрического и магнитного полей в идеальном контуре остаётся неизменной. Это и есть закон сохранения энергии для электромагнитных колебаний: