1. Свободные электромагнитные колебания в идеальном колебательном контуре, формула Томсона

В таком контуре могут возникать свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда на обкладках конденсатора, силы тока в катушке напряжения. Идеальный колебательный контур показан на рисунке \(1\).

 

Рис. \(1\). Колебательный контур

Если конденсатор зарядить до напряжения $U_0$, а затем замкнуть на катушку, он начнёт разряжаться. Благодаря явлению самоиндукции ток в катушке нарастает постепенно. К моменту полной разрядки конденсатора ($q=0$) ток достигает максимума, а вся энергия контура сосредоточена в магнитном поле катушки. Затем ток продолжает течь в том же направлении (из-за самоиндукции), перезаряжая конденсатор до противоположной полярности. Процесс повторяется, и в контуре возникают свободные колебания.

В идеальном колебательном контуре сопротивление проводов и катушки пренебрежимо мало, полная энергия сохраняется:

 

$W=\frac{q^2}{2C}+\frac{L{i}^2}{2}=\mathit{const}$.

 

Таким образом описывается закон сохранения энергии в идеальном колебательном контуре.

Используем равенство напряжений на конденсаторе и катушке:

$\frac{q}{C}=-L{i}^{\prime }$, где

$i^{\prime }$ — это производная тока по времени.

 

Получаем дифференциальное уравнение:

 

$q^{″}+\frac{1}{\mathit{LC}}q=0$.

 

Решением данного уравнения является гармоническая функция:

$q(t)=q_m\mathit{cos}({\mathrm{\omega }}_{0}t+\mathrm{\varphi })$, где

$q_m$ — амплитуда заряда;

$\mathrm{\varphi }$ — начальная фаза;

${\mathrm{\omega }}_0$ — собственная циклическая частота.

 

Собственная циклическая частота определяется следующей формулой:

 

${\mathrm{\omega }}_0=\frac{1}{\sqrt{\mathit{LC}}}$.

 

Период колебаний определяется формулой Томсона:

 

$T=2\mathrm{\pi }\sqrt{\mathit{LC}}$.

 

Напряжение на конденсаторе и сила тока в катушке также изменяются гармонически:

 

 

 

Амплитуды имеют связь, выраженную соотношением:

 

$I_m={\mathrm{\omega }}_0{q}_m=\frac{U_m}{\sqrt{L/C}}$.

 

Начальные условия, а именно начальные заряд и ток, определяют амплитуду и фазу колебаний. Например, если в начальный момент времени конденсатор был заряжен $(q(0)=q_0)$, а ток отсутствовал $(i(0)=0)$, то $q(t)=q_0\mathit{cos}({\mathrm{\omega }}_{0}t)$.

Свободные колебания в идеальном контуре являются незатухающими и гармоническими.