5. Вынужденные электромагнитные колебания и резонанс

Вынужденные электромагнитные колебания возникают в колебательном контуре под действием внешней периодической ЭДС. Если в цепь последовательно с конденсатором и катушкой включить источник переменного напряжения $u(t)=U_m\mathit{cos}(\mathrm{\omega }t)$, то в контуре устанавливаются колебания с частотой источника, но их амплитуда зависит от соотношения между частотой источника $\mathrm{\omega }$ и собственной частотой контура ${\mathrm{\omega }}_0$.

Уравнение, описывающее такие колебания, получается из закона Ома для переменного тока. Для последовательного контура с активным сопротивлением \(R\), индуктивностью \(L\) и ёмкостью \(C\) оно имеет вид:

 

Учитывая, что $i=q^{\prime }$, приходим к дифференциальному уравнению второго порядка:

 

В установившемся режиме (через некоторое время после включения) колебания в контуре происходят с частотой вынуждающей силы, а их амплитуда остаётся постоянной. Решением является уравнение вида $q=q_m\mathit{cos}(\mathrm{\omega }t+\mathrm{\varphi })$, где \(q_m\) и $\mathrm{\varphi }$ зависят от параметров контура и частоты.

 

Особый интерес представляет резонанс — явление резкого возрастания амплитуды колебаний, когда частота внешнего воздействия приближается к собственной частоте контура. При резонансе амплитуда заряда (и напряжения на конденсаторе) становится максимальной. Резонансная частота для заряда совпадает с собственной частотой контура ${\mathrm{\omega }}_0=\frac{1}{\sqrt{\mathit{LC}}}$. Однако для тока резонансная частота также равна ${\mathrm{\omega }}_0$, но амплитуда тока при этом определяется только активным сопротивлением: $I_m=\frac{U_m}{R}$.

 

На практике резонанс используют для выделения сигналов нужной частоты (например, в радиоприёмниках) и для получения больших напряжений и токов при малой мощности источника.