Теория:
1. Механические волны и условия распространения
Механическая волна представляет собой процесс распространения колебаний в упругой среде. Перенос энергии происходит без переноса вещества.
Рис. \(1\). Морская волна
Основные характеристики волны:
Длина волны \(\lambda\) — расстояние между ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе, \(м\).
Частота \(\nu\) — число колебаний за секунду, \(Гц\).
Так же к характеристикам волн относят период \(T = 1/\nu\) (\(с\)) и скорость распространения \(v\) (\(м/с\)). Связь между ними:
\(v = \lambda \nu = \frac{\lambda}{T}.\)
Обрати внимание!
Условия возникновения волны: наличие упругой среды (твёрдое тело, жидкость, газ) и источника колебаний, который вызывает деформацию среды. В вакууме механические волны не распространяются.
2. Гармонические колебания
Гармоническими называют колебания, при которых физическая величина изменяется во времени по закону синуса или косинуса.
Пример: колебания груза на пружине или математического маятника.
Рис. \(2\). Математический маятник
Важнейшие параметры:
Амплитуда | \(A\) | Максимальное отклонение от положения равновесия, \(м\) |
Циклическая частота | \(\omega = 2\pi\nu = \frac{2\pi}{T}\) | Мера частоты колебательного движения, \(рад/с\) |
| Физа | \(\varphi\) | Величина, определяющая текущее состояние колебательной системы |
3. Фаза колебаний
Фаза колебаний \(\varphi\) это аргумент синуса или косинуса, определяющий состояние колебательной системы в данный момент времени (смещение, скорость, ускорение). Начальная фаза \(\varphi_0\) задаёт состояние в момент \(t = 0\).
Разность фаз двух одинаковых колебаний позволяет оценить их взаимную синхронизацию. Если разность фаз равна \(2\pi n\) (\(n\) целое), колебания совпадают (синфазны). Если разность фаз равна \(\pi(2n+1)\), колебания противоположны (противофазны).
4. Уравнение гармонических колебаний
Смещение колеблющейся точки от положения равновесия описывается уравнением:
\(x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_0)\)
или \(x(t) = A \sin(\omega t + \varphi_0)\).
где \(x\) — смещение (\(м\));
\(A\) — амплитуда (\(м\));
\(\omega\) — циклическая частота (\(рад/с\));
\(t\) — время (\(с\));
\(\varphi_0\) — начальная фаза (\(рад\)).
\(A\) — амплитуда (\(м\));
\(\omega\) — циклическая частота (\(рад/с\));
\(t\) — время (\(с\));
\(\varphi_0\) — начальная фаза (\(рад\)).
Скорость и ускорение получаются дифференцированием:
\(v(t) = -A\omega \sin(\omega t + \varphi_0),\)
\(a(t) = -A\omega^2 \cos(\omega t + \varphi_0) = -\omega^2 x(t).\)
Последнее равенство есть дифференциальное уравнение гармонических колебаний:
\(\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0.\)
5. Представление о затухающих колебаниях
В реальных системах всегда действуют силы трения (сопротивления среды), поэтому амплитуда колебаний постепенно уменьшается. Такие колебания называются затухающими.
Уравнение затухающих колебаний (для малого затухания):
\(x(t) = A_0 e^{-\beta t} \cos(\omega' t + \varphi_0),\)
где \(\beta\) — коэффициент затухания (\(с^{-1}\));
\(\omega' = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}\) — циклическая частота затухающих колебаний;
\(\omega_0\) — собственная частота системы.
\(\omega' = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}\) — циклическая частота затухающих колебаний;
\(\omega_0\) — собственная частота системы.
Рис. \(3\). График затухающих колебаний
Обрати внимание!
Логарифмический декремент затухания характеризует скорость убывания амплитуды: \(\theta = \beta T.\) При сильном затухании колебательный процесс прекращается (апериодическое движение).
6. Интерференция и дифракция механических волн
Интерференция это явление наложения двух или нескольких когерентных волн (с одинаковой частотой и постоянной разностью фаз), приводящее к устойчивому перераспределению энергии в пространстве.
Условие максимума (усиление): разность хода \(\Delta = n\lambda\) (\(n = 0, 1, 2, \dots\)). Условие минимума (ослабление): \(\Delta = (2n+1)\frac{\lambda}{2}.\)
Рис. \(4\). Явление интерференции
Дифракция это огибание волнами препятствий, размер которых соизмерим с длиной волны.
Волна отклоняется от прямолинейного распространения, проникая в область геометрической тени. Дифракция наблюдается для любых волн, в том числе звуковых и волн на поверхности воды.
Рис. \(5\). Явление дифракции
7. Звук
Звук (акустические волны) это упругие продольные волны с частотой от \(16\) \(Гц\) до \(20\) \(кГц\), воспринимаемые человеческим ухом. Инфразвук (ниже \(16\) \(Гц\)) и ультразвук (выше \(20\) \(кГц\)) не слышны, но существуют в природе и технике.
Скорость звука в среде зависит от упругих свойств и плотности. В газах:
\(v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}},\)
где \(\gamma\) — показатель адиабаты;
\(R = 8,31\) \(Дж/(моль \cdot К)\) — универсальная газовая постоянная;
\(T\) — абсолютная температура (\(К\));
\(M\) — молярная масса (\(кг/моль\)).
\(R = 8,31\) \(Дж/(моль \cdot К)\) — универсальная газовая постоянная;
\(T\) — абсолютная температура (\(К\));
\(M\) — молярная масса (\(кг/моль\)).
При \(0^\circ C\) в воздухе \(v \approx 331\) \(м/с\). В жидкостях и твёрдых телах скорость выше.
Громкость определяется интенсивностью звуковой волны (энергией, переносимой через единицу площади за секунду, \(Вт/м^2\)) и чувствительностью уха. Уровень громкости измеряется в децибелах (\(дБ\)):
\(L = 10 \lg \frac{I}{I_0},\)
где \(I_0 = 10^{-12}\) \(Вт/м^2\) — порог слышимости.
Шепот около \(20\) \(дБ\), разговор \(50-60\) \(дБ\), болевой порог \(120-130\) \(дБ\).
Высота тона определяется частотой звуковой волны: чем выше частота, тем выше тон. Соответствие: нота "ля" первой октавы имеет частоту \(440\) \(Гц\).
Тембр это окраска звука, позволяющая различать источники (например, голос человека и скрипку) при одинаковой громкости и высоте. Тембр обусловлен наличием обертонов (гармоник) с разными амплитудами. Основной тон (самая низкая частота) и обертоны создают уникальный спектр колебаний.