Теория:
Если скорость релятивистской частицы меньше скорости света, то она называется массовой. Её собственная энергия, то есть энергия при \(v=0\):
\(\boxed{E_0=m_0\cdot c^2}\), (\(1\))
где \(m_0\) — масса покоя частицы, \(E_0\) — энергия покоя частицы.
Масса движущейся релятивистской частицы:
\(\boxed{m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}\). (\(2\))
Импульс частицы:
\(\boxed{\vec{p}=m\vec{v}=\frac{m_0 \vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}\). (\(3\))
Полная (релятивистская) энергия, или энергия свободной (невзаимодействующей) движущейся релятивистской частицы (сформулировал А. Эйнштейн):
\(\boxed{E=mc^2=\frac{m_0 c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}\). (\(4\))
Кинетическая энергия массовой частицы:
\(\boxed{E_k=E-E_0}\). (\(5\))
Возведём в квадрат левую и правую часть уравнения (\(4\)). Получим:
\(\boxed{E^2=\frac{m_0^2 c^4}{1-\frac{v^2}{c^2}}=m_0^2c^4\frac{c^2}{c^2(1-\frac{v^2}{c^2})}=m_0^2c^4(1+\frac{v^2}{c^2(1-\frac{v^2}{c^2})})=m_0^2c^4+\frac{m_0^2v^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}c^2=m_0^2c^4+p^2c^2.}\)
Таким образом, для всех свободных частиц в любой инерциальной системе можно записать:
\(\boxed{E^2-p^2c^2=m_0^2c^4}\). (\(6\))
Если скорость частицы равна скорости света, то такую частицу называют безмассовой (фотон и нейтрино). В таком случае энергия и импульс свободной частицы связаны соотношением:
\(\boxed{E^2-p^2c^2=0}\). (\(7\))