2. Пространство и время в специальной теории относительности

Пользуясь двумя постулатами Эйнштейна, найдём преобразования, связывающие две системы отсчёта \(K\) и \(K’\), одна из которых движется вдоль оси \(X\) со скоростью \(v=const\) относительно другой.
Допустим, в момент времени \(t'=t=0\) начала координат совпадали (\(O=O'\)) и была включена лампочка, от которой начала распространяться световая волна. Тогда в какой-то момент времени \(t_1\) она придёт в точку \(x_1\), а по первому постулату Эйнштейна это означает, что во второй системе в момент времени \(t'_1\) она придёт в точку \(x'_1\), а значит, по второму постулату Эйнштейна:
\(x_1=c\cdot t_1,\; x'_1=c \cdot t'_1\).  (\(1\))
В релятивистской теории важное значение имеет коэффициент Лоренца:
\(\boxed{\alpha=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}\).  (\(2\))
Преобразования Лоренца для координат и времени могут быть записаны в виде:
\(\boxed{x'=\alpha (x-vt)=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},\; y'=y,\; z'=z,\; t'= \frac{t-\frac{vx}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}\).  (\(3\))
Заметим, что подстановка формул (\(3\)) в формулы (\(1\)) приведёт к верному числовому равенству.
В пределе, когда \(v \ll c\), из формул (\(3\)) получим преобразования Галилея (это сущность принципа соответствия).
Из преобразований Лоренца следуют следующие закономерности:
- релятивистское сокращение линейных размеров:

Пусть стержень покоится в подвижной системе отсчёта, координаты его начала и конца в этой системе отсчёта равны \(x_1'\) и \(x_2'\) соответственно. В этот же момент времени в неподвижной системе отсчёта координаты его начала и конца равны \(x_1\) и \(x_2\) соответственно. Тогда

\(\boxed{l_0=x_2'-x_1'=\frac{x_2-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-\frac{x_1-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{x_2-x_1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{l}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}\) или

\(\boxed{l=l_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\),  (\(4\))
где \(l_0\) — продольный размер стержня в системе отсчёта, относительно которой он покоится;
\(l\) — продольный размер стержня в системе отсчёта, относительно которой он движется со скоростью \(v\). Таким образом, длина движущегося стержня, измеренная неподвижным наблюдателем, меньше, чем его собственная длина;
- релятивистское замедление времени: в разных системах отсчёта временной интервал между одними и теми же событиями различен:

Пусть свет движется от тела \(A\) к телу \(B\). Расстояние между ними он преодолевает за время \(\tau_0\), измеренное в системе отсчёта, связанной с телами \(A\) и \(B\). Пусть тела \(A\) и \(B\) движутся относительно наблюдателя перпендикулярно направлению распространения света со скоростью \(v\) (см. рис. 1).

Тогда по теореме Пифагора:

\(\boxed{(c\tau)^2=(c\tau_0)^2+(v\tau)^2, \space  \tau^2=\tau_0^2+\frac{v^2}{c^2}\tau^2, \space  \tau_0=\tau\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\) или

\(\boxed{\tau=\frac{\tau_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}\),  (\(5\))
где \(\tau_0\) — длительность события движущегося объекта с точки зрения наблюдателя, находящегося в подвижной системе отсчёта;
\(\tau\) — длительность события движущегося объекта в неподвижной системе отсчёта; 

\(v\) — скорость движения подвижной системы отсчёта относительно неподвижной.
Формула (\(5\)) является разрешением парадокса о том, что время жизни движущейся элементарной частицы отличается от времени жизни такой же покоящейся частицы.
Релятивистский закон сложения скоростей отличается от формулы в классической механике. Скорость тела в первой системе отсчёта \(v_1\), вторая система отсчёта движется относительно первой со скоростью \(v\). Найдём скорость \(v_2\) тела во второй системе отсчёта:

\(\boxed{x_2=\alpha x_1+\alpha v t_1,\space t_2=\alpha t_1+\alpha\frac{v}{c^2}x_1, \space dx_2=\alpha dx_1+\alpha v dt_1, \space dt_2=\alpha dt_1+\alpha\frac{v}{c^2}dx_1, \space \frac{dx_2}{dt_2}=\space=\frac{\alpha dx_1+\alpha v dt_1}{\alpha dt_1+\alpha\frac{v}{c^2}dx_1}=\frac{\alpha \frac{dx_1}{dt_1}+\alpha v \frac{dt_1}{dt_1}}{\alpha \frac{dt_1}{dt_1}+\alpha\frac{v}{c^2}\frac{dx_1}{dt_1}}=\frac{\alpha v_1+\alpha v}{\alpha+\alpha\frac{v}{c^2}v_1}=\frac{v_1+v}{1+\frac{v_1\cdot v}{c^2}};\space v_2=\frac{v_1+v}{1+\frac{v_1\cdot v}{c^2}}}\).  (\(6\))
Если в формулу (\(6\)) подставить значение \(v_1=c\), то получим, что:
\(v_2=\frac{c+v}{1+\frac{v}{c}}=c\),
то есть скорость света в любой системе отсчёта равна \(c\).