Теорема о трёх перпендикулярах — урок. Геометрия, 10 класс.

2. Теорема о трёх перпендикулярах

Теория

Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.

\(a\)

⊥

\(AB\)

\begin{array}{l} a ⊥ AB \\ BC ⊥ BA \end{array}\} \Rightarrow a ⊥ CA

Справедлива также обратная теорема:

если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

\(a\)

⊥

\(AC\)

\begin{array}{l} a ⊥ AC \\ BC ⊥ BA \end{array}\} \Rightarrow a ⊥ BA

Из вершины \(S\) к плоскости квадрата \(ABCD\) проведён перпендикуляр \(BS\) и наклонные \(SA\), \(SC\) и \(SD\).

Назови все прямоугольные треугольники с вершиной \(S\), обоснуй свой ответ.

Рисунок:

\(ABCD\) — квадрат, все углы которого равны по

90 °

градусов.

1. Грань \(ASB\) — прямоугольный треугольник,

2. Грань \(BSC\) — прямоугольный треугольник,

т. к. \(BS\) — перпендикуляр к плоскости.

3. Грань \(DSC\) — прямоугольный треугольник, по теореме о трёх перпендикулярах:

\begin{array}{l} CD ⊥ BC, т . к . ABCD - квадрат \\ SB ⊥ BC, т . к . перпендикуляр \end{array}\} \Rightarrow CD ⊥ SC

;

значит,

∠

\(SCD =\)

90 °

4. Грань \(ASD\) — прямоугольный треугольник, по теореме о трёх перпендикулярах:

\begin{array}{l} AD ⊥ AB, т . к . ABCD - квадрат \\ SB ⊥ AB, т . к . перпендикуляр \end{array}\} \Rightarrow AD ⊥ SA

;

значит,

∠

\(SAD =\)

90 °

Источники: