Основные понятия — урок. Геометрия, 9 класс.

1. Основные понятия

Теория

Уравнение окружности

Используем два уже известных факта и выведем уравнение окружности:

1) все точки окружности находятся на данном расстоянии (радиус) от данной точки (центр);

2) мы имеем формулу для расчёта расстояния между двумя точками, если знаем координаты точек

|AB| = \sqrt{{(x_{A} - x_{B})}^{2} + {(y_{A} - y_{B})}^{2}}

, а если так, то квадрат расстояния

{AB}^{2} = {(x_{A} - x_{B})}^{2} + {(y_{A} - y_{B})}^{2}

Допустим, что центр окружности находится в точке

C (x_{C}; y_{C})

, а радиус окружности равен \(R\).

Любая точка

P (x; y)

на этой окружности находится на расстоянии \(R\) от центра \(C\), значит, справедливо равенство

{(x - x_{C})}^{2} + {(y - y_{C})}^{2} = R^{2}

Это и есть уравнение окружности с центром \(C\) и радиусом \(R\). Координаты всех точек, которые находятся на окружности, удовлетворяют уравнению.

Если центр окружности находится в начале координат

(0; 0)

, то уравнение имеет вид

x^{2} + y^{2} = R^{2}

Уравнение прямой

Для выведения уравнения прямой проведём эту прямую как серединный перпендикуляр некоторому отрезку с данными координатами конечных точек отрезка.

Известно, что все точки серединного перпендикуляра находятся на равных расстояниях от концов отрезка.

Координаты концов отрезка

A (x_{A}; y_{A})

B (x_{B}; y_{B})

. Любая точка

P (x; y)

находится на равных расстояниях от конечных точек

PA = PB

, конечно, равны и квадраты расстояний

{PA}^{2} = {PB}^{2}

, значит, справедливо равенство

{(x - x_{A})}^{2} + {(y - y_{A})}^{2} = {(x - x_{B})}^{2} + {(y - y_{B})}^{2}

, которое и есть уравнение прямой.

После возведения выражений в скобках и приведения подобных слагаемых

x^{2} - 2 \cdot x \cdot x_{A} + {(x_{A})}^{2} + y^{2} - 2 \cdot y \cdot y_{A} + {(y_{A})}^{2} =

= x^{2} - 2 \cdot x \cdot x_{B} + {(x_{B})}^{2} + y^{2} - 2 \cdot y \cdot y_{B} + {(y_{B})}^{2};

2 \cdot x \cdot x_{B} - 2 \cdot x \cdot x_{A} + 2 \cdot y \cdot y_{B} - 2 \cdot y \cdot y_{A} + {(x_{A})}^{2} - {(x_{B})}^{2} + {(y_{A})}^{2} - {(y_{B})}^{2} = 0;

(2 x_{B} - 2 x_{A}) \cdot x + (2 y_{B} - 2 y_{A}) \cdot y + ({(x_{A})}^{2} - {(x_{B})}^{2} + {(y_{A})}^{2} - {(y_{B})}^{2}) = 0;

уравнение будет в таком виде:

\begin{array}{l} ax + by + c = 0; \\ a = 2 (x_{B} - x_{A}); \\ b = 2 (y_{B} - y_{A}); \end{array}

c = {(x_{A})}^{2} - {(x_{B})}^{2} + {(y_{A})}^{2} - {(y_{B})}^{2} .

Рассмотрим особые прямые.

1. Прямая проходит через некоторую точку на оси \(Ox\) с координатами

A (x_{A}; 0)

Для любой точки на этой прямой

x = x_{A}

, это и есть уравнение прямой.

Так как ось \(Oy\) проходит через начало координат, то уравнение оси \(Oy\) есть

x = 0

2. Прямая проходит через некоторую точку на оси \(Oy\) с координатами

B (0; y_{B})

Для любой точки на этой прямой

y = y_{B}

, это и есть уравнение прямой.

Так как ось \(Ox\) проходит через начало координат, то уравнение оси \(Ox\) есть

y = 0