Скалярное произведение векторов — урок. Геометрия, 9 класс.

Скалярное произведение векторов. Свойства

1. Скалярное произведение векторов

Теория

Скалярным произведением двух векторов

\vec{a}

\vec{b}

будет скалярная величина (число), равная произведению модулей этих векторов, умноженная на косинус угла между ними:

\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos α

Очень важно правильно определить угол между векторами. Если векторы не имеют общей начальной точки, необходимо представить, какой угол бы образовался, если их переместить к общей начальной точке.

Угол между векторами обозначают

\hat{\vec{a} \vec{b}} = α

1. Если векторы сонаправлены, то

\hat{\vec{a} \vec{b}} = 0 °

Обрати внимание!

Так как косинус угла в \(0\) градусов равен \(1\), то скалярное произведение сонаправленных векторов является произведением их длин.

Если два вектора равны, то такое скалярное произведение называют скалярным квадратом.

2. Если векторы противоположно направлены, то

\hat{\vec{a} \vec{b}} = 180 °

Обрати внимание!

Так как косинус угла в \(180\) градусов равен \(-1\), то скалярное произведение противоположно направленных векторов равно отрицательному произведению их длин.

3. Векторы называют перпендикулярными, если

\hat{\vec{a} \vec{b}} = 90 °

Обрати внимание!

Так как косинус прямого угла равен \(0\), то скалярное произведение перпендикулярных векторов равно \(0\).

4. Необходимо внимательно рассмотреть ситуации, когда векторы образуют тупой угол.

Обрати внимание!

Так как косинус тупого угла отрицательный, то скалярное произведение таких векторов, которые образуют тупой угол, является отрицательным.

Скалярное произведение векторов, заданных координатами

Если

\vec{a} (x_{a}; y_{a})

\vec{b} (x_{b}; y_{b})

, то

\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{a} \cdot x_{b} + y_{a} \cdot y_{b}

Так как в координатах

|\vec{a}| = \sqrt{{x_{a}}^{2} + {y_{a}}^{2}}

|\vec{b}| = \sqrt{{x_{b}}^{2} + {y_{b}}^{2}}

, то можно определить косинус угла между векторами и, следовательно, величину угла.

\begin{array}{l} \cos α = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}; \\ \cos α = \frac{x_{a} \cdot x_{b} + y_{a} \cdot y_{b}}{\sqrt{{x_{a}}^{2} + {y_{a}}^{2}} \cdot \sqrt{{x_{b}}^{2} + {y_{b}}^{2}}} . \end{array}

Свойства скалярного произведения векторов

1. Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нулю. Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору.

\vec{a} \cdot \vec{a} > 0; \vec{0} \cdot \vec{0} = 0

2. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

\vec{a} \cdot \vec{a} = {|\vec{a}|}^{2}

3. Для скалярного произведения в силе переместительный закон:

\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}

4. Для скалярного произведения в силе распределительный закон:

(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}

5. Для скалярного произведения в силе сочетательный закон:

(k \cdot \vec{a}) \cdot \vec{b} = k \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b})

6. Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны.

Вернуться в тему

Следующее задание