Теорема синусов, теорема косинусов — урок. Геометрия, 9 класс.

Теорема синусов

Теорему Пифагора и тригонометрические функции острого угла можно использовать для вычисления элементов только в прямоугольном треугольнике.

Для нахождения элементов в произвольном треугольнике используется теорема синусов или теорема косинусов.

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC}

(в решении задачи одновременно пишутся две части, они образуют пропорцию).

Теорема синусов используется для вычисления:

неизвестных сторон треугольника, если даны два угла и одна сторона;
неизвестных углов треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

Так как один из углов треугольника может быть тупым, значение синуса тупого угла находится по формуле приведения

\sin (180 ° - α) = \sin α

Наиболее часто используемые тупые углы:

\begin{array}{l} sin120 ° = \sin (180 ° - 60 °) = sin60 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}; \\ sin150 ° = \sin (180 ° - 30 °) = sin30 ° = \frac{1}{2}; \\ sin135 ° = \sin (180 ° - 45 °) = sin45 ° = \frac{\sqrt{2}}{2} . \end{array}

Радиус описанной окружности

\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC} = 2 R

, где \(R\) — радиус описанной окружности.

Выразив радиус, получаем

R = \frac{a}{2 sinA}

, или

R = \frac{b}{2 sinB}

, или

R = \frac{c}{2 sinC}

Теорема косинусов

Для вычисления элементов прямоугольного треугольника достаточно \(2\) данных величин (две стороны или сторона и угол).

Для вычисления элементов произвольного треугольника необходимо хотя бы \(3\) данных величины.

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cosA

Также теорема исполняется для любой стороны треугольника:

b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \cdot a \cdot c \cdot cosB

;

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cosC

Теорема косинусов используется для вычисления:

неизвестной стороны треугольника, если даны две стороны и угол между ними;
вычисления косинуса неизвестного угла треугольника, если даны все стороны треугольника.

Значение косинуса тупого угла находится по формуле приведения

\cos (180 ° - α) = - \cos α

Наиболее часто используемые тупые углы:

\begin{array}{l} cos120 ° = \cos (180 ° - 60 °) = - cos60 ° = - \frac{1}{2}; \\ cos150 ° = \cos (180 ° - 30 °) = - cos30 ° = - \frac{\sqrt{3}}{2}; \\ cos135 ° = \cos (180 ° - 45 °) = - cos45 ° = - \frac{\sqrt{2}}{2} . \end{array}

Если необходимо найти приблизительное значение синуса или косинуса другого угла или вычислить угол по найденному синусу или косинусу, то используется таблица или калькулятор.

Источники:

Вернуться в тему

Следующее задание

1. Теорема синусов, теорема косинусов

Теория: