Решение экзаменационных задач по теме Системы счисления

Задача № 1

Сколько раз встречается цифра \(2\) в записи чисел \(9\), \(10\), \(11\), \(12\)…\(15\) в системе счисления с основанием \(4\)?

Переведём каждое число из приведённого числового ряда в четверичную систему счисления:

\begin{array}{l} 9_{10} = 21_{4}, \\ 10_{10} = 22_{4}, \\ 11_{10} = 23_{4}, \\ 12_{10} = 30_{4}, \\ 13_{10} = 31_{4}, \\ 14_{10} = 32_{4}, \\ 15_{10} = 33_{4} . \end{array}

Подсчитаем количество двоек.

Ответ: \(5\).

Задача № 2

В некоторой системе счисления десятичное число \(34\) записывается как \(46\). Найди основание этой системы счисления.

Запишем уравнение:

46_{k} = 4 \times k^{1} + 6 \times k^{0} = 34_{10}

Так как любое число в нулевой степени равно единице, то \(34-6 = 28\).

\(28\) разделим на \(4\) и получим искомое основание.

Ответ: \(7\).

Задача № 3

Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения:

4^{2014} + 2^{2015} - 8

Преобразуем выражение:

{(2^{2})}^{2014} + 2^{2015} - 2^{3} = 2^{4028} + 2^{2015} - 2^{3}

Число

2^{4028}

в двоичной записи будет выглядеть как единица и \(4028\) нулей.

Число

2^{2015}

— одна единица и \(2015\) нулей, т. е. единица будет стоять в \(2016\) разряде.

Получим следующую запись:

\overset{4029}{1} 00000 ..... 0 \overset{2016}{1} 00 ..... 0000

и вычтем

2^{3} = 1000

Теперь подумаем логически. При вычитании необходимо будет занять в \(2016\) разряде единицу, при этом в \(3\) разряд придёт \(10\), а в остальные разряды с \(2015\) — по \(4\) единицы.

\(10-1 = 1\) — в \(3\) разряде получается ещё одна единица.

Посчитаем общее количество единиц: \(2015 - 3 = 2012\), не забудем единицу в \(4029\) разряде.

Ответ: \(2013\).

Задача № 4

Значение выражения

36^{8} + 6^{20} - 12

записали в системе счисления с основанием \(6\). Сколько нулей содержится в этой записи?

Преобразуем выражение:

{(6^{2})}^{8} + 6^{20} - 20_{6} = 6^{16} + 6^{20} - 20_{6}

В значении данного выражения в \(21\) и \(17\) разрядах будут стоять единицы, а в остальных разрядах — \(0\).

После вычитания шестеричного \(20\) получим следующее: во втором разряде будет \(4\), в разрядах с \(3\) по \(16\) будет \(5\), в разрядах с \(18\) по \(20\) — нули.

Посчитаем количество нулей: \(20-14-1 = 5\).

Ответ: \(5\).

Задача № 5

Найди значение выражения

3 \times 2^{28} + 2 \times 2^{20} + 2^{12} + 3 \times 4^{6} + 2 \times 4^{4}

, если его записали в шестнадцатеричной системе счисления. Сколько значащих нулей в записи получившегося числа?

Преобразуем данное выражение. Результат нужно получить в шестнадцатеричной системе счисления, поэтому все множители, содержащие показатель степени, должны равняться \(16\).

3 \times 16^{7} + 2 \times 16^{5} + 16^{3} + 3 \times 16^{3} + 2 \times 16^{2} = 3 \times 16^{7} + 2 \times 16^{5} + 4 \times 16^{3} + 2 \times 16^{2}

Что обозначает данная запись?

3 \times 16^{7}

можно представить как \(3\) и \(7\) нулей,

2 \times 16^{5}

— как двойку и \(5\) нулей и т. д.

Так как речь идёт об одном числе, то в этом числе, исходя из развёрнутой записи числа (а в результате преобразований у нас получилась именно развёрнутая запись некоторого числа), в \(7\), \(5\), \(3\) и \(2\) разрядах стоят некоторые цифры.

Вычислим количество нулей.

Всего их изначально было \(7\) (

3 \times 16^{7}

), поэтому \(7-3=4\) значащих нуля будет в записи числа.

Ответ: \(4\).

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующее задание

3. Решение экзаменационных задач по теме Системы счисления

Теория: