Теория:
Несогласованное приложение — это название чего-либо, чаще всего оформленное кавычками:
детский лагерь «Орлёнок»;
картина «Бурлаки на Волге».
Употребление несогласованного приложения зависит от наличия в предложении родового слова — обобщённого понятия, которое называет жанр или тип какого-либо предмета или явления (роман, картина, журнал, фильм и т. д.).
Закономерность имеет два взаимоисключающих правила.
- Если родовое слово названо в предложении, то название в кавычках не изменяется.
В романе «Герой нашего времени» первоначально героем времени считали Максима Максимыча.
- Если родовое слово не указано перед названием в кавычках, то приложение склоняется.
В «Преступлении и наказании» Раскольников потерпел крах в своей теории.
*Я, увлечённо читающий свежий номер «Свой» ― приложения к известной газете «Культуре», не заметил Ивана Ильича, подошедшего ко мне поздороваться.
В предложении допущены две ошибки при использовании несогласованного приложения.
Во-первых, перед названием «Свой» пропущено родовое слово, поэтому слово в кавычках склоняется.
Во-вторых, у приложения «Культура» имеется родовое слово газета, поэтому название остаётся в начальной форме.
Правильно: я, увлечённо читающий свежий номер «Своего» ― приложения к известной газете «Культура», не заметил Ивана Ильича, подошедшего ко мне поздороваться.