Теория:

Причастия, как и прилагательные, согласуются с именем существительным или местоимением, к которому они относятся. 
Пример:
бушующим (м. р., ед. ч., Т. п.) океаном (м. р., ед. ч., Т. п.),
прочитанную (ж. р., ед. ч., В. п.) книгу (ж. р., ед. ч., В. п.),
вопросы (мн. ч.) обсуждены (мн. ч.).
Чтобы определить верное написание безударного окончания причастия, нужно задать к нему вопрос от определяемого слова.
Правописание окончаний полных причастий мужского и среднего рода
  
И. п.
Какой?
Какое?
Строящийся (дом) 
Разгоревшееся (пламя)Обученный (человек)
Р. п.Какого?СтроящегосяРазгоревшегосяОбученного
Д. п.Какому?СтроящемусяРазгоревшемусяОбученному
В. п.
Какой?
Какое?
Какого?
СтроящийсяРазгоревшеесяОбученного
Т. п.Каким?СтроящимсяРазгоревшимсяОбученным
П. п.О каком?О строящемсяО разгоревшемсяОб обученном
 
Причастия в форме именительного и совпадающего с ним винительного падежа не проверяются вопросом. После шипящих согласных они имеют окончание -ий, а после твёрдых — -ый в форме мужского рода; после шипящих согласных имеют окончание -ее, а после твёрдых — -ое в форме среднего рода.
 
В окончании вопроса к причастиям мужского и среднего рода в форме творительного падежа есть буква И, поэтому в окончаниях соответствующих причастий после шипящих пишется буква И, а после твёрдых согласных — буква Ы.
 
В окончании вопросов к причастиям мужского и среднего рода в форме остальных падежей есть буква О, поэтому в окончаниях соответствующих причастий после твёрдых согласных пишется буква О, а после шипящих — буква Е.
 
Правописание окончаний полных причастий женского рода
  
И. п.Какая?
Бегущая
Прочитанная
Р. п.Какой?БегущейПрочитанной
Д. п.Какой?БегущейПрочитанной
В. п.
Какую?
Бегущую
Прочитанную
Т. п.Какой?БегущейПрочитанной
П. п.О какой?О бегущейО прочитанной
 
Если в окончании вопроса есть буквы А или У, то и в окончании причастия женского рода тоже пишутся буквы А или У соответственно.
 
Если в окончании вопроса есть буква О, то в окончании причастия женского рода после шипящих пишется буква Е, а после твёрдых согласных — буква О.
 
Правописание окончаний полных причастий множественного числа
  
И. п.Какие?
Поющие (птицы)
Наклеенные (марки)
Р. п.Каких?ПоющихНаклеенных
Д. п.Каким?ПоющимНаклеенным
В. п.
Каких?
Какие?
Поющих
Наклеенные
Т. п.Какими?ПоющимиНаклеенными
П. п.О каких?О поющихО наклеенных
 
В окончаниях вопросов к причастиям множественного числа есть буква И, поэтому в окончаниях соответствующих причастий после шипящих пишется буква И, после твёрдых согласных — буква Ы.
 
Обрати внимание!
Формулировка «после шипящих» подразумевает под собой все шипящие (и твёрдые [ж], [ш], и мягкие [ч'], [щ']).
Формулировка «после твёрдых» подразумевает под собой все твёрдые звуки, кроме шипящих ([ж], [ш]).
Правописание окончаний кратких причастий
 
В окончаниях кратких причастий женского рода пишется буква А (ветка сломана, задача решаема), среднего рода — буква О (перо сломано, задание решаемо), множественного числа — буква Ы (часы сломаны, проблемы решаемы).