Корень n-ой степени из произведения двух неотрицательных чисел

1. Корень n-ой степени из произведения двух неотрицательных чисел

Теория

Свойство формулируется только для неотрицательных значений переменных, содержащихся под знаками корней.

Если \(a\) и \(b\) — неотрицательные числа, то справедливо равенство:

\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}

Корень \(n\)-ой степени \((n = 2, 3, 4...)\) из произведения двух неотрицательных чисел

равен произведению корней \(n\)-ой степени из этих чисел.

Формулу используют в случае, когда показатели корней множителей — одинаковые натуральные числа.

Пример:

вычисли:

\sqrt[3]{0, 125 \cdot 8 \cdot 27}

Решение:

\sqrt[3]{0, 125 \cdot 8 \cdot 27} = \sqrt[3]{0, 125} \cdot \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27} = 0, 5 \cdot 2 \cdot 3 = 3

Пример:

преобразовать выражение:

\sqrt{{49 d^{6} c}^{18}}

Решение:

\sqrt{{49 d^{6} c}^{18}} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{d^{6}} \cdot \sqrt{c^{18}} = 7 \cdot d^{3} \cdot c^{9} = 7 d^{3} c^{9}

Формула применяется как слева направо, так и справа налево.

Пример:

вычисли:

\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8}

Решение:

\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{2 \cdot 8} = \sqrt[4]{16} = 2

Пример:

вычисли:

\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{16}

Решение:

\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{4 \cdot 16} = \sqrt[3]{4 \cdot 4^{2}} = \sqrt[3]{4^{3}} = 4