Решение логарифмических уравнений по определению логарифма

Методы решения логарифмических уравнений

1. Решение логарифмических уравнений по определению логарифма

Теория

Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма (в основании логарифма), называются логарифмическими.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение

\log_{a} x = b

, где основание

a > 0, a \neq 1

, а выражение, стоящее под знаком логарифма, \(x>0\).

Для любого действительного \(b\) это уравнение имеет единственное решение:

x = a^{b}

Пример:

решить уравнение:

\log_{2} x = 3

Решение

Вначале находим область допустимых значений (ОДЗ): \(x>0\),

т. к. под знаком логарифма должно быть положительное выражение.

Для решения данного уравнения достаточно воспользоваться определением логарифма, то есть представить число \(x\) как степень основания \(2\) логарифма, причём показатель степени равен \(3\):

\begin{array}{l} \log_{2} x = 3; \\ x = 2^{3}; \\ x = 8 . \end{array}

Найденное значение принадлежит ОДЗ, значит, является корнем уравнения.

Ответ: \(x=8\).

Пример:

решить уравнение:

\log_{3} (x^{2} + 72) = 4

Решение

ОДЗ:

x^{2} + 72 > 0 \Rightarrow x \in R

По определению логарифма получаем

\begin{array}{l} x^{2} + 72 = 3^{4}; \\ x^{2} + 72 = 81; \\ x^{2} + 72 - 81 = 0; \\ x^{2} - 9 = 0; \\ (x - 3) (x + 3) = 0 \Rightarrow x_{1} = 3, x_{2} = - 3 . \end{array}

Ответ:

x_{1} = 3, x_{2} = - 3

Пример:

решить уравнение:

\lg (x + 1) + \lg (x + 4) = 1 .

Решение

По свойству логарифма преобразуем левую часть ОДЗ

\begin{array}{l} \lg (x + 1) (x + 4) = 1; \{\begin{cases} x + 1 > 0 \\ x + 4 > 0 \end{cases} \\ \lg (x + 1) (x + 4) = lg10 . \end{array}

\begin{array}{l} (x + 1) (x + 4) = 10; \{\begin{cases} x > - 1 \\ x > - 4 \end{cases} \\ x^{2} + 5x + 4 = 10; x \in (- 1; + \infty) . \\ x^{2} + 5x + 4 - 10 = 0; \\ x^{2} + 5x - 6 = 0 . \end{array}

По теореме Виета

\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - 5 \\ x_{1} \cdot x_{2} = - 6 \end{cases} \Rightarrow x_{1} = - 6, x_{2} = 1

\(x=-6\) не является корнем этого уравнения, т. к. не принадлежит ОДЗ.

Ответ: \(x=1\).

Вернуться в тему

Следующая теория