Метод введения новой переменной — урок. Алгебра, 11 класс.

3. Метод введения новой переменной

Теория

Уравнения вида

f (\log_{a} x) = 0

решаются с помощью подстановки

t = \log_{a} x

которая приводит уравнение к виду

f (t) = 0

Если \(t\) — корень уравнения

f (t) = 0

, то после возвращения к подстановке

t = \log_{a} x

можно найти корень исходного логарифмического уравнения,

т. е.

x = a^{t}

(аналогично находятся и другие корни, если они есть).

Пример:

решить уравнение:

\log_{2}^{2} (x + 4) = 2 \log_{2} (x + 4) + 3

Решение:

\begin{array}{l} \log_{2}^{2} (x + 4) = 2 \log_{2} (x + 4) + 3; \\ \log_{2} (x + 4) = t; \\ t^{2} - 2 t - 3 = 0; \\ \{\begin{cases} t_{1} + t_{2} = 2 \\ t_{1} \cdot t_{2} = - 3 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} t_{1} = - 1 \\ t = 3 \end{cases} \\ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \log_{2} (x + 4) = - 1; \\ \begin{array}{l} 2^{- 1} = x + 4; \\ 0,5 = x + 4; \\ 0,5 - 4 = x; \end{array} \\ \underline{\underline{x = - 3,5 .}} \end{array} & \begin{array}{l} \log_{2} (x + 4) = 3; \\ \begin{array}{l} 2^{3} = x + 4; \\ 8 = x + 4; \\ 8 - 4 = x; \end{array} \\ \underline{\underline{x = 4 .}} \end{array} \end{array} \end{array}

ОДЗ:

\begin{array}{l} x + 4 > 0; \\ x > - 4; \\ x \in (- 4; + \infty) . \end{array}

\(x=-3,5\) и \(x=4\) оба принадлежат ОДЗ.

Ответ: \(-3,5; 4\).

Пример:

решить уравнение:

{2log}_{4}^{2} x - 5 \log_{4} x = - 2

Решение:

{2log}_{4}^{2} x - 5 \log_{4} x + 2 = 0

Обозначив

\log_{4} x = t

, получим уравнение

2 t^{2} - 5 t + 2 = 0

Корни этого уравнения

t_{1} = \frac{1}{2}, t_{2} = 2

Из уравнения

\log_{4} x = \frac{1}{2}

находим, что

x = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2

а из уравнения

\log_{4} x = 2

следует, что

x = 4^{2}

, т. е. \(x=16\).

Оба корня принадлежат ОДЗ: \(x>0\).

Ответ:

2; 16

Пример:

задание. Найти решение уравнения

\log_{x} (6 - x) = 2

Решение

ОДЗ:

\begin{array}{l} \{\begin{cases} 6 - x > 0 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} \\ \{\begin{cases} - x > - 6 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x < 6 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} \\ x \in (0; 1) \cup (1; 6) . \end{array}

Введём новую переменную:

\begin{array}{l} 6 - x = t; \\ \log_{x} t = 2; \\ x^{2} = t . \end{array}

Вернёмся к обозначенному:

\begin{array}{l} x^{2} = 6 - x; \\ x^{2} + x - 6 = 0; \\ x_{1} = - 3, x_{2} = 2 . \end{array}

Первый корень не принадлежит ОДЗ, а значит, решением является \(x=2\).

Ответ: \(x=2\).