1.
Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) на уравнение f(x) = g(x)
Теория
При решении показательного, логарифмического или иррационального уравнения оно заменяется более простым.
Уравнение вида заменяется уравнением .
То есть заменяем:
а) показательное уравнение вида уравнением ;
б) логарифмическое уравнение вида уравнением ;
в) иррациональное уравнение вида уравнением .
Обрати внимание!
Эту замену можно делать только тогда, когда функция каждое своё значение принимает по одному разу на области определения, то есть функция \(y=h(x)\) является монотонной.
Пример:
решить уравнение:
Так как функция — возрастающая функция, то можно перейти к уравнению:
.
Решим его, получим: \(x=4\).
Обрати внимание!
Если функция \(y=h(x)\) не является монотонной, то такую замену делать нельзя, чтобы не потерять корни.
Например, нельзя заменить уравнение уравнением вида , корнем которого является \(x=4\).
При таком переходе «потерялся» корень .
Причина в том, что функция — немонотонная функция.