Пример. Полный квадрат — урок. Единый государственный экзамен, Математика.

16. Пример. Полный квадрат

Теория

Пример:

между цифрами двузначного числа

\bar{ab}

вписывают

\bar{cd}

, в середину числа

\bar{acdb}

опять вписывают

\bar{cd}

и т. д.

а) Верно ли, что если \(\)

\bar{ab}

\( = \)

\bar{cd}

\( =48\), то полученное на \(48\)-м шаге число является полным квадратом?

б) Верно ли, что если \(\)

\bar{ab}

\( =16\), а \(\)

\bar{cd}

\( =15\), то полученное на \(15\)-м шаге число является полным квадратом?

в) Квадрат какого числа получится на \(10\)-м шаге, при \(\)

\bar{ab}

\(=16\), \(\)

\bar{cd}

\(=15\)?

Решение:

а) на

n

\(-1\)-м шаге получим число:

\underset{n цифр}{\underset{⏟}{444 ... 4}} \underset{n цифр}{\underset{⏟}{888 ... 8}} = 4 \cdot \frac{10^{n} - 1}{9} \cdot 10^{n} + 8 \cdot \frac{10^{n} - 1}{9} = [\frac{2}{3} (10^{n} - 1)] \cdot [\frac{2}{3} (10^{n} - 1) + 2] .

Это произведение двух последовательных чётных чисел, которое не может являться полным квадратом, в том числе и для

n

\(=48\).

Ответ: нет.

б) На

n

-м шаге получим число:

\underset{}{1} \underset{n цифр}{\underset{⏟}{111 ... 1}} \underset{n цифр}{\underset{⏟}{555 ... 5}} \underset{}{6} = \frac{10^{n + 1} - 1}{9} \cdot 10^{n + 1} + 5 \cdot 10 \cdot \frac{10^{n} - 1}{9} + 6 = {(\frac{10^{n + 1}}{3})}^{2} - \frac{10^{n + 1}}{9} + 5 \cdot \frac{10^{n + 1}}{9} - \frac{50}{9} + 6 = {(\frac{10^{n + 1}}{3})}^{2} + 4 \cdot \frac{10^{n + 1}}{9} + \frac{4}{9} = {(\frac{10^{n + 1} + 2}{3})}^{2} .

То есть, независимо от

n

полученное число всегда является полным квадратом.

Ответ: да.

в) Полученное в п. б выражение можно записать в виде:

{(\frac{10^{n + 1} + 2}{3})}^{2} = {(\frac{10^{n + 1} - 1}{3} + 1)}^{2} = {(\underset{n цифр}{\underset{⏟}{333 .. 3}} + 1)}^{2} .

При

n

\(=10\) получаем ответ \(3333333334\).

Ответ: \(3333333334\).