Пример. Числа Мерсенна — урок. Единый государственный экзамен, Математика.

14. Пример. Числа Мерсенна

Теория

Пример:

числа вида

M = 2^{n} - 1

(\(n\) — натуральное число) называются числами Мерсенна.

а) Верно ли, что для чётных \(\)

n

\(>4\) число Мерсенна всегда можно представить в виде произведения по крайней мере трёх натуральных чисел, больших \(1\)?

б) Верно ли, что существует единственное значение

n

, при котором число Мерсенна можно представить в виде произведения двух простых чисел?

в) Найди наибольшее четырёхзначное простое число Мерсенна.

Решение:

а) пусть \(n\) — чётное:

\begin{array}{l} n = 2 k, \\ 2^{2 k} - 1 = (2^{k} - 1) (2^{k} + 1) . \end{array}

Если бы число

2^{2 k} - 1

было бы произведением двух простых чисел, то числа

2^{k} - 1

2^{k} + 1

должны были бы быть простыми.

Однако из трёх чисел

2^{k} - 1

2^{k}

2^{k} + 1

одно (и притом не

2^{k}

) кратно \(3\).

А поскольку при \(k>2\) оба числа

2^{k} - 1

2^{k} + 1

превосходят \(3\), то хотя бы одно из этих чисел — составное.

Итак, для

n

чётных, больших \(4\), числа

2^{n} - 1

являются произведением по крайней мере трёх натуральных чисел, больших \(1\).

Ответ: да.

б) Первое такое число при

n

\(=4\) найти несложно:

2^{4} - 1 = 3 \cdot 5

Остальные чётные перебирать не будем (см. пункт \(а\)).

Перебирая числа при нечётном

n

, найдём

2^{9} - 1 = 7 \cdot 73

. Таким образом получили, что такое число не единственное.

Ответ: нет.

в) Следующим за числом

2^{9} - 1 = 7 \cdot 73 = 511

для нечётных

n

идёт число

2^{11} - 1 = 23 \cdot 89 = 2047

Следующее число

2^{13} - 1 = 8191

Это простое четырёхзначное число.

Ответ: \(8191\).