Пример. Делимость и остатки — урок. Единый государственный экзамен, Математика.

10. Пример. Делимость и остатки

Теория

Пример:

известно, что число

a

таково, что при делении на \(4\) и на \(6\) даёт в остатке \(1\), а при делении на \(9\) даёт в остатке \(4\).

а) Верно ли, что существует как минимум два таких значения

a

б) Верно ли, что таких значений конечное число?

в) Найди сумму всех таких трёхзначных

a

Решение:

а) таковым является, например, число \(13\). Так как числа, делящиеся на \(4\), повторяются через \(4\), делящиеся на \(6\) — через \(6\), а делящиеся на \(9\) — через \(9\), то следующее число будет \(49\).

Ответ: да.

б) Все числа, обладающие такими свойствами, образуют бесконечную арифметическую прогрессию

a_{n} = 13 + 36 (n - 1) = 36 n - 23,

поэтому их не конечное число.

Ответ: нет.

в) Так как число должно быть трёхзначным, то

\begin{array}{l} 100 \leq 36 n - 23 \leq 999, \\ 123 \leq 36 n \leq 1022, \\ \frac{123}{36} \leq n \leq \frac{1022}{36}, \\ 3 \frac{5}{12} \leq n \leq 28 \frac{7}{18} . \end{array}

Так как

n

— целое число, то

n

изменяется от \(4\) до \(28\). При данных

n

все члены прогрессии — трёхзначные числа. Всего этих чисел \(25\) (от \(4\) до \(28\) включительно).

Найдём сумму членов арифметической прогрессии с четвёртого по \(28\)-й:

S_{n} = \frac{a_{4} + a_{28}}{2} \cdot 25 = a_{16} \cdot 25 = (36 \cdot 16 - 23) \cdot 25 = 13825 .

Ответ: \(13825\).

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующая теория