5.
Пирамида с боковым ребром, перпендикулярным плоскости основания
Теория
Если у пирамиды одно ребро перпендикулярно плоскости основания, то вершина пирамиды проецируется на одну из вершин основания.
На рисунке дана треугольная пирамида с ребром \(DA\), перпендикулярным основанию.
\(DA\) — перпендикулярное основанию ребро, \(DA\) также является высотой,
\(DAC\) и \(DAB\) — прямоугольные, угол \(DEA\) — двугранный угол при основании.
На следующем рисунке дана пирамида, основание которой — прямоугольник.
Ребро \(SB\) перпендикулярно основанию, \(SB\) также является высотой,
\(SBA\) и \(SBC\) — прямоугольные;
если основание — прямоугольник, то \(SAD\) и \(SCD\) — прямоугольные.
Это можно доказать при помощи теоремы о трёх перпендикулярах ТТП (прямая, которая проведена на плоскости через основание наклонной перпендикулярно её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной).
Приведём доказательство.
Если прямая \(AD\) перпендикулярна проекции наклонной \(AB\), то она перпендикулярна и наклонной \(SA\).
Если прямая \(CD\) перпендикулярна проекции наклонной \(BC\), то она перпендикулярна и наклонной \(SC\).
Записываем с помощью символов:
,
значит, \(SAD =\) и \(SAD\) — прямоугольный.
Подобным образом доказывается, что \(SCD\) — прямоугольный:
.
Обрати внимание!
У таких пирамид площадь боковой поверхности равна сумме площадей всех боковых граней
Нельзя использовать формулу правильной пирамиды.
Источники:
Рис. 1-3. Пирамиды, © ЯКласс.