Арксинус и уравнение sin x = a — урок. Математика (СПО), Программа 340 ч..

1. Арксинус и уравнение sin x = a

Теория

Уравнение

\sin x = a

Если

|a| > 1

, то уравнение

\sin x = a

не имеет корней.

Например, уравнение

\sin x = 2

не имеет корней.

Если

|a| \leq 1

, то корни уравнения выражаются формулой

x = {(- 1)}^{k} \arcsin a + π k, k \in ℤ

Что же такое

\arcsin a

? Арксинус в переводе с латинского означает «дуга и синус». Это обратная функция.

Если

|a| \leq 1

, то

\arcsin a

(арксинус

a

) — это такое число из отрезка

[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]

, синус которого равен

a

Говоря иначе:

\arcsin a = x \Rightarrow \sin x = a, |a| \leq 1, x \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]

Рассмотрим данную теорию на примере.

Пример:

найти

\arcsin \frac{1}{2}

Выражение

\arcsin \frac{1}{2}

показывает, что синус угла

x

равен

\frac{1}{2}

, т. е.

\sin x = \frac{1}{2}

Далее просто находим точку этого синуса на числовой окружности, что и является ответом:

точка

\frac{1}{2}

, находящаяся на оси

y

, соответствует точке

\frac{π}{6}

на числовой окружности.
Значит,

\arcsin \frac{1}{2} = \frac{π}{6}

Обрати внимание!

Если

\sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

, то

\arcsin \frac{1}{2} = \frac{π}{6}

В первом случае по точке на числовой окружности находим значение синуса, а во втором — наоборот, по значению синуса находим точку на числовой окружности. Движение в обратную сторону. Это и есть арксинус.

Теорема. Для любого

a \in [- 1; 1]

справедлива формула

\arcsin (- a) = - \arcsin a

Частные случаи:
1.

\sin x = 0 \Rightarrow x = π k, k \in ℤ

;

\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{π}{2} + 2 π k, k \in ℤ

;

\sin x = - 1 \Rightarrow x = - \frac{π}{2} + 2 π k, k \in ℤ

Пример:

решить уравнение

\sin x = - \frac{1}{2}

Используем формулу

x = {(- 1)}^{k} \arcsin a + π k, k \in ℤ

и получаем ответ

x = {(- 1)}^{k} (- \frac{π}{6}) + π k, k \in ℤ

Вернуться в тему

Следующая теория