Теория:
Наибольшее и наименьшее значения функции можно найти по графику функции. Иногда это значения удаётся найти, используя свойства функции. В общем случае наибольшее и наименьшее значения функции находятся с помощью производной. Для этого сформулируем некоторые теоремы.
1. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нём и своего наибольшего, и своего наименьшего значений (эта теорема доказывается в курсе высшей математики).
2. Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.
3. Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.
Как найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке?
Пусть функция \(f(x)\) напрерывна на отрезке \([a; b]\), тогда:
1) находим производную функции ;
2) приравниваем производную к нулю, определяем точки экстремума функции, отбираем из них те, которые принадлежат отрезку \([a; b]\);
3) находим значения функции в отобранных точках, и в конечных точках отрезка \(a\) и \(b\); выбираем среди полученных значений наименьшее () и наибольшее ().
А что делать, если нужно найти наибольшее или наименьшее значения функции, непрерывной на интервале? Один из вариантов — графический метод, который подразумевает построение графика функции и определение наименьшего или наибольшего значения функции по нему. Однако не всегда этот способ удобен, целесообразнее использовать следующую теорему.
Теорема. Пусть функция непрерывна на промежутке \(X\) и имеет внутри него единственную стационарную или критическую точку . Тогда:
а) если — точка максимума, то ;
б) если — точка минимума, то .
На рисунках продемонстрированы геометрические иллюстрации данной теоремы.
