Преобразование выражений, содержащих корни — урок. Математика (СПО), Программа 340 ч..

Преобразование выражений с корнями nой степени

1. Преобразование выражений, содержащих корни

Теория

Можно осуществлять преобразования выражений, используя следующие свойства извлечения корня \(n\)-й степени (\(a\), \(b\) — неотрицательные действительные числа):

\begin{array}{l} {(\sqrt[n]{a})}^{n} = a; \\ \sqrt[n]{a^{n}} = a; \\ \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}; \\ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} (b \neq 0); \\ {(\sqrt[n]{a})}^{k} = \sqrt[n]{a^{k}}; \\ \sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a}; \\ \sqrt[np]{a^{kp}} = \sqrt[n]{a^{k}} . \end{array}

Пример:

выполнить действия:

(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}) (\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y})

Решение:

применим формулу сокращённого умножения

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

и формулу

{(\sqrt[n]{a})}^{k} = \sqrt[n]{a^{k}}

(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}) (\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y}) = {(\sqrt[4]{x})}^{2} - {(\sqrt[4]{y})}^{2} = \sqrt[4]{x^{2}} - \sqrt[4]{y^{2}}

Теперь воспользуемся формулой

\sqrt[np]{a^{kp}} = \sqrt[n]{a^{k}}

и разделим в каждом из полученных радикалов показатели корня и подкоренного выражения на \(2\):

\sqrt[4]{x^{2}} - \sqrt[4]{y^{2}} = \sqrt[4 : 2]{x^{2 : 2}} - \sqrt[4 : 2]{y^{2 : 2}} = \sqrt[2]{x^{1}} - \sqrt[2]{y^{1}} = \sqrt{x} - \sqrt{y}

Вернуться в тему

Следующая теория