3.
Простейшие иррациональные уравнения
Теория
Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называются иррациональными.
Решение иррациональных уравнений обычно сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путём возведения в степень \(n\) обеих частей уравнения.
При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать следующее:
1) если показатель корня — чётное число, то подкоренное выражение и значение корня не должны быть отрицательными;
2) если показатель корня — нечётное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом;
3) при возведении обеих частей уравнения в чётную степень могут возникать посторонние корни, поэтому при использовании данного метода необходимо делать проверку или находить область допустимых значений.
Пример:
реши уравнения.
1) .
1) .
Решение:
ОДЗ.
Возведём обе части уравнения в четвёртую степень:
\(Зx - 2 = 16\);
\(3x=16+2\);
\(3x=18\);
\(3x=16+2\);
\(3x=18\);
ОДЗ.
Ответ: \(x=6\).
2) .
Решение: возведём обе части уравнения в квадрат:
Полученное неполное квадратное уравнение имеет два корня: \(-5\) и \(5\).
Произведём проверку полученных корней, для этого подставим значения переменной \(x\) в исходное уравнение.
Произведём проверку полученных корней, для этого подставим значения переменной \(x\) в исходное уравнение.
Проверка
При — верно.
При — верно.
Значит, исходное иррациональное уравнение имеет два корня.
Ответ: \(-5\) и \(5\).
При — верно.
При — верно.
Значит, исходное иррациональное уравнение имеет два корня.
Ответ: \(-5\) и \(5\).
3) .
Решение: уравнение не имеет корней. Корень чётной степени — неотрицательное число.
4) .
Решение: возведём обе части уравнения в куб:
Ответ: \(x=-3\).