Понятие степени с рациональным показателем — урок. Математика (СПО), Программа 340 ч..

1. Понятие степени с рациональным показателем

Теория

Выражение

a^{\frac{m}{n}}

, где \(a>0\), означает корень, показатель которого равен знаменателю \(n\) дроби

\frac{m}{n}

, а показатель степени подкоренного числа равен числителю \(m\) дроби

\frac{m}{n}

, т. е.

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}

Например,

11^{\frac{1}{2}} = \sqrt{11}, 2^{\frac{8}{9}} = \sqrt[9]{2^{8}}, \sqrt{t^{5}} = t^{\frac{5}{2}}

Пример:

1) Вычислить:

32^{\frac{1}{5}}

Решение:

32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32} = 2

.
2) Вычислить:

{(- 27)}^{\frac{1}{3}}

.
Решение:

степень с дробным показателем для случая отрицательного основания не имеет смысла.

Обрати внимание!

Следует обратить внимание, что основание не может быть отрицательным числом,

а показатель степени может быть как положительным, так и отрицательным.

Сравним два уравнения.

Пример:

1) Решить уравнение:

\sqrt[3]{y^{2}} = 1

.
Решение. Возведём обе части уравнения в куб:

\begin{array}{l} y^{2} = 1; \\ y_{1,2} = \pm 1 . \end{array}

Ответ: \(-1;1\).

2) Решить уравнение:

y^{\frac{2}{3}} = 1

.
Решение. Основание \(y\) должно быть неотрицательным, т. к. оно возводится в дробную степень.

Следовательно, из найденных выше двух значений \(y\) корнем уравнения является лишь значение \(y = 1\).
Ответ: \(1\).

Если

\frac{p}{q}

— обыкновенная дробь, где

q \neq 1

и \(a>0\), то под

a^{- \frac{p}{q}}

понимают

\frac{1}{a^{\frac{p}{q}}}

a^{- \frac{p}{q}} = \frac{1}{a^{\frac{p}{q}}}

7^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{7^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{7}}