Равносильность неравенств — урок. Математика (СПО), Программа 340 ч..

Решением неравенства

f (x) > g (x)

называют всякое значение переменной \(x\), которое обращает заданное неравенство с переменной в верное числовое неравенство.

Этот термин применяют для обозначения и общего решения, и частного решения, и процесса.

Определение \(1\)

Два неравенства с одной переменной —

f (x) > g (x)

p (x) > h (x)

— называются равносильными, если их решения совпадают.

Вместо знака \(>\) может стоять любой другой знак неравенства (меньше, меньше либо равно, больше либо равно).

Определение \(2\)

Если решение неравенства

p (x) > h (x)

\((1)\)

включает решение неравенства

f (x) > g (x)

, \((2)\)

то неравенство \((1)\) является следствием неравенства \((2)\).

Покажем, что неравенство

\frac{3 x}{2 x + 2} > 1

— следствие неравенства

3x > 2 x + 2

. Действительно, решим каждое неравенство:

\begin{array}{l} \frac{3 x}{2 x + 2} - 1 > 0; \\ \frac{x - 2}{2 x + 2} > 0; \\ x \in (- \infty; - 1) \cup (2; + \infty) \end{array}

\begin{array}{l} 3x > 2 x + 2; \\ x > 2; \\ x \in (2; + \infty) . \end{array}

Неравенство

\frac{3 x}{2 x + 2} > 1

является следствием неравенства

3x > 2 x + 2

, так как решение второго неравенства является решением первого неравенства.

При решении неравенств используют \(6\) теорем о равносильности.

Теорема \(1\)

Если какой-либо член неравенства перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, оставив знак неравенства без изменения, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема \(2\)

Если обе части неравенства возвести в одну и ту же нечётную степень, оставив знак неравенства без изменения, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема \(3\)

Показательное неравенство

a^{f (x)} > a^{g (x)}

равносильно:

а) неравенству

f (x) > g (x)

, при \(a>1\);

б) неравенству

f (x) < g (x)

, при \(0<a<1\).

Теорема \(4\)

a) При умножении обеих частей неравенства

f (x) > g (x)

на одинаковое выражение \(h(x)\), положительное при всех \(x\) из области определения (области допустимых значений переменной) неравенства

f (x) > g (x)

, оставив при этом знак неравенства без изменения, получаем неравенство

f (x) \cdot h (x) > g (x) \cdot h (x)

, равносильное данному.

б) При умножении обеих частей неравенства

f (x) > g (x)

на одинаковое выражение \(h(x)\), отрицательное при всех \(x\) из области определения неравенства

f (x) > g (x)

, изменяя при этом знак неравенства на противоположный, получаем равносильное данному неравенство

f (x) \cdot h (x) < g (x) \cdot h (x)

Теорема \(5\)

Если обе части неравенства

f (x) > g (x)

неотрицательны в области его определения (в ОДЗ), то после возведения обеих частей неравенства в одну и ту же чётную степень \(n\) получится неравенство того же смысла

{f (x)}^{n} > {g (x)}^{n}

, равносильное данному.

Теорема \(6\)

Если

f (x) > 0

g (x) > 0

, то логарифмическое неравенство

\log_{a} f (x) > \log_{a} g (x)

равносильно:

а) неравенству того же смысла

f (x) > g (x)

, если \(a>1\);

б) неравенству противоположного смысла

f (x) < g (x)

, если \(0<a<1\).

Источники:

Вернуться в тему

Следующая теория

1. Равносильность неравенств

Теория: