Теория:
Натуральные числа, имеющие только два делителя, называют простыми.
Пример:
числа \(2\); \(3\); \(5\); \(7\); \(11\) — простые, т. к. делятся только на \(1\) и сами на себя, т. е. имеют два делителя.
Натуральные числа, имеющие более двух делителей, называют составными.
Пример:
числа \(4\); \(6\); \(8\); \(10\) — составные, т. к. делятся не только на \(1\) и сами на себя, а ещё, например, на \(2\), т. е. имеют более двух делителей.
Число \(1\) не относится ни к простым, ни к составным числам.
Это число можно представить в виде произведения простых чисел.
Сокращённо нахождение разложения выглядит как столбик: слева от черты записываем делимое, а справа — делитель, результат деления записывают под делимым. Эти действия повторяем до получения \(1\). Справа от черты и будут записаны простые делители числа.
Зная, что произведение одинаковых множителей можно записать в виде степени, получим:
.
Для того, чтобы разложить число на простые множители, полезно знать признаки делимости.
Представление числа в виде произведения степеней простых чисел называют разложением числа на простые множители.
Основная теорема арифметики:
любое натуральное число (кроме \(1\)) либо является простым, либо его можно разложить на простые множители, причём единственным способом.
В ходе выполнения различных заданий удобно пользоваться таблицей простых чисел.
Таблица простых чисел (до \(997\))
\(2\) | \(79\) | \(191\) | \(311\) | \(439\) | \(577\) | \(709\) | \(857\) |
\(3\) | \(83\) | \(193\) | \(313\) | \(443\) | \(587\) | \(719\) | \(859\) |
\(5\) | \(89\) | \(197\) | \(317\) | \(449\) | \(593\) | \(727\) | \(863\) |
\(7\) | \(97\) | \(199\) | \(331\) | \(457\) | \(599\) | \(733\) | \(877\) |
\(11\) | \(101\) | \(211\) | \(337\) | \(461\) | \(601\) | \(739\) | \(881\) |
\(13\) | \(103\) | \(223\) | \(347\) | \(463\) | \(607\) | \(743\) | \(883\) |
\(17\) | \(107\) | \(227\) | \(349\) | \(467\) | \(613\) | \(751\) | \(887\) |
\(19\) | \(109\) | \(229\) | \(353\) | \(479\) | \(617\) | \(757\) | \(907\) |
\(23\) | \(113\) | \(233\) | \(359\) | \(487\) | \(619\) | \(761\) | \(911\) |
\(29\) | \(127\) | \(239\) | \(367\) | \(491\) | \(631\) | \(769\) | \(919\) |
\(31\) | \(131\) | \(241\) | \(373\) | \(499\) | \(641\) | \(773\) | \(929\) |
\(37\) | \(137\) | \(251\) | \(379\) | \(503\) | \(643\) | \(787\) | \(937\) |
\(41\) | \(139\) | \(257\) | \(383\) | \(509\) | \(647\) | \(797\) | \(941\) |
\(43\) | \(149\) | \(263\) | \(389\) | \(521\) | \(653\) | \(809\) | \(947\) |
\(47\) | \(151\) | \(269\) | \(397\) | \(523\) | \(659\) | \(811\) | \(953\) |
\(53\) | \(157\) | \(271\) | \(401\) | \(541\) | \(661\) | \(821\) | \(967\) |
\(59\) | \(163\) | \(277\) | \(409\) | \(547\) | \(673\) | \(823\) | \(971\) |
\(61\) | \(167\) | \(281\) | \(419\) | \(557\) | \(677\) | \(827\) | \(977\) |
\(67\) | \(173\) | \(283\) | \(421\) | \(563\) | \(683\) | \(829\) | \(983\) |
\(71\) | \(179\) | \(293\) | \(431\) | \(569\) | \(691\) | \(839\) | \(991\) |
\(73\) | \(181\) | \(307\) | \(433\) | \(571\) | \(701\) | \(853\) | \(997\) |