Дисперсия биномиального распределения — урок. Вероятность и статистика, 11 класс.

Вспомним, что при вычислении математического ожидания случайную величину \(X\), равную числу успехов в \(N\) испытаниях Бернулли, мы представляли как сумму индикаторов:

X = X_{1} + X_{2} + ... + X_{n}

Дисперсию биномиального распределения можно найти всё тем же методом индикаторов.

Каждая из величин

X_{1}, X_{2}, ..., X_{n}

равна единице, если соответствующее ей испытание завершилось успехом, и равна нулю — если неудачей.

Отсюда:

D (X_{1}) = D (X_{2}) = ... = D (X_{N}) = p (1 - p) = pq .

Из независимости испытаний Бернулли следует независимость случайных величин

X_{1}, X_{2}, ..., X_{n}

, поэтому

D (X) = D (X_{1}) + D (X_{2}) + ... + D (X_{N}) = pq + pq + ... + pq + ... = Npq .

Таким образом, мы получили формулу для дисперсии биномиального распределения:

D (X) = Npq

Попробуем её использовать на примерах.

Пример:

монету бросают 25 раз. Чему равна дисперсия числа выпавших орлов?

Это испытания Бернулли, где \(N = 25\), а вероятность успеха и неудачи равны, то есть \(p = 0,5\) и \(q = 0,5\). А случайная величина \(X\) — количество выпавших орлов.

Тогда

E (X) = N_{p} = 25 \cdot \frac{1}{2} = 12,5

;

D (X) = Npq = 25 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 6,25 .

Разберем ещё пример, где вероятности успеха и неудачи не являются равными.

Пример:

кубик бросают 2500 раз. Чему равна дисперсия числа выпавших единиц?

Это также испытания Бернулли, в которых \(N = 2500\) и \(p =\)

\frac{1}{6}

. Случайная величина \(X\) — количество выпавших единиц.

Тогда

E (X) = 2500 \cdot \frac{1}{6} = N_{p} \approx 416,7;

D (X) = Npq = 2500 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} \approx 347,2 .

Обрати внимание!

Как видим, дисперсия биномиального распределения при

p \neq q

меньше, чем для симметричного случая

p = q

Дисперсия— это мера разброса значений случайной величины относительно её среднего значения (математического ожидания).

Если взять выборку, то дисперсия покажет разнородность результатов относительно среднего значения.

Пример:

в одной компании людей почти все кареглазые. А в другой половина — кареглазые, вторая половина — голубоглазые и зеленоглазые. Как видим, вторая группа разнороднее, нежели первая, а значит, дисперсия в ней выше.

Также дисперсия даёт вероятность того, что данный рассматриваемый результат далёк от среднего.

Пример:

в реальной жизни оценивать риски для компании или оценивать риски для продвижения — всё это возможно с дисперсией.
Чем ниже дисперсия, тем значения стабильнее, риск предсказуем. Высокая дисперсия — больше разброс, высокая неопределённость и риск.

Вернуться в тему

Следующая теория

1. Дисперсия биномиального распределения

Теория: