Дисперсия геометрического распределения — урок. Вероятность и статистика, 11 класс.

Для вычисления дисперсии геометрического распределения воспользуемся тем же приёмом, который мы использовали при вычислении математического ожидания. Только теперь его придётся применить дважды.

Чтобы вычислить дисперсию $D(X)$ для случайной величины $X$, которая имеет геометрическое распределение, нужно найти

E (X^{2})

Выражение для этой величины, исходя из геометрического закона распределения, будет выглядеть так:

E (X^{2}) = 1^{2} \cdot p + 2^{2} \cdot qp + 3^{2} \cdot q^{2} p + 4^{2} \cdot q^{3} p + ...

Представим эти слагаемые в виде таблицы.

$p$	$qp$	$q^{2} p$	$...$
	$qp$	$q^{2} p$	$...$
	$qp$	$q^{2} p$	$...$
	$qp$	$q^{2} p$	$...$
		$q^{2} p$	$...$
		$q^{2} p$	$...$
		$q^{2} p$	$...$
		$q^{2} p$	$...$
		$q^{2} p$	$...$
			$...$

Видим, что она устроена немного сложнее, чем для математического ожидания. В ней любой $k$-й столбец содержит на

k^{2} - {(k - 1)}^{2} = 2 k - 1

больше чисел, чем предыдущий.

Поэтому, проведя необходимые преобразования, получим формулу для дисперсии геометрического распределения:

D (X) = \frac{q}{p^{2}}

Попробуем применить её на примерах.

Пример:

найдём дисперсию числа испытаний с монетой до появления первого орла.

Здесь вероятность успеха и неудачи равны и составляют $0,5$. Следовательно, дисперсия будет равна

\frac{q}{p^{2}} = \frac{4}{2} = 2

А теперь найдём дисперсию числа испытаний с кубиком до появления первой шестёрки.

Здесь

p = \frac{1}{6}

q = 1 - p = \frac{5}{6}

, поэтому дисперсия будет равна

\frac{q}{p^{2}} = \frac{5}{6} \cdot 36 = 30

Обрати внимание!

Таким образом, особенностью геометрического распределения является то, что дисперсия обратно пропорциональна квадрату вероятности успеха. Следовательно, чем меньше вероятность успеха, тем больше дисперсия (разброс значений случайной величины).

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующее задание

\(p\)	\(qp\)	$q^{2} p$	\(...\)
	\(qp\)	$q^{2} p$	\(...\)
	\(qp\)	$q^{2} p$	\(...\)
	\(qp\)	$q^{2} p$	\(...\)
		$q^{2} p$	\(...\)
		$q^{2} p$	\(...\)
		$q^{2} p$	\(...\)
		$q^{2} p$	\(...\)
		$q^{2} p$	\(...\)
			\(...\)

2. Дисперсия геометрического распределения

Теория: