Теория:
В статистике для определения разброса используют такую характеристику, как дисперсия.
Дисперсией числового набора называют среднее арифметическое квадратов отклонений от его среднего значения. И обозначают .
Формула для вычисления дисперсии: где — числовой набор, а — это среднее арифметическое этого набора.
На величину дисперсии влияют все отклонения, причём чем больше абсолютное значение отклонения, тем сильнее это влияние (благодаря возведению в квадрат).
Обрати внимание!
В отличие от среднего отклонения, которое всегда равно \(0\), дисперсия всегда положительна, кроме одного случая: если все числа в наборе данных одинаковые, то дисперсия равна \(0\).
Пример:
рассмотрим реальную ситуацию, где необходимо учитывать разброс данных.
Допустим, ты хочешь купить себе гаджет. И для этого изучил рынок продавцов с их предложениями на одну и ту же модель. Получились следующие цены (в рублях):
Очевидно, что самый дешёвый гаджет не означает самый качественный. Разумнее ориентироваться на среднюю цену. Вычислим её: \(=\) 15900 руб.
Для чего же тогда в данном примере разброс?
В экономике по разбросу можно судить о стабильности рынка: если разброс небольшой, то цены установились и в ближайшее время вряд ли будут сильно меняться. Увеличение разброса означает, что рынок находится в движении, цены могут начать падать или расти. Так происходит, когда какое-то изделие только появилось на рынке, или наоборот, его снимают с производства. В любом случае информация о разбросе цен позволяет принять решение о том, стоит ли торопиться с этой покупкой.
Размах цен в нашем примере будет равен: \(=\) 2600 руб. А теперь вычислим дисперсию. Поскольку среднее арифметическое этого набора равно , то отклонения от среднего будут равны соответственно:
Теперь нужно каждое отклонение возвести в квадрат и вычислить среднее арифметическое:
\(=\) 800000.
Получилось большое число. Но единицы измерения, в которых выражается дисперсия — они «квадратные». Если исходная величина измерялась в рублях, то дисперсия будет выражена в «квадратных» рублях. Ведь мы возводили в квадрат каждое отклонение, выраженное в рублях.
Чтобы избавится от таких единиц измерения, рассматривают такую характеристику разброса — стандартное отклонение.
Стандартным или средним квадратичным отклонением числового ряда называется квадратный корень из дисперсии.
То есть 894 руб.
Теперь полученная величина соответствует разбросу цен и гораздо ближе к реальным колебаниям цен.