Теория:
Приведённые выше определения позволяют найти дисперсию и стандартное отклонение для любого набора данных. Правда, если чисел много, то для этого может потребоваться большой объём вычислений. Его можно немного сократить, если использовать другую формулу для вычисления дисперсии.
Пусть — среднее арифметическое квадратов всех чисел из нашего набора:
Тогда для дисперсии числового набора будет справедлива следующая формула: .
Разберём использование этих формул на примере.
Пример:
найдем дисперсию числового набора \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\).
Для начала найдём средний квадрат нашего числового набора:
А теперь вычтем из него квадрат среднего:
Здесь дробные числа возникли только на последнем шаге вычислений. Понятно, что если вычисления проводятся на компьютере, то это не имеет значения, а вот человеку оперировать целыми числами гораздо удобнее.
Обрати внимание!
Если числовой набор представлен в виде таблицы частот, то дисперсию, как и среднее арифметическое, нужно вычислять с учётом числа повторений каждого значения или его частоты.
Покажем это на примере.
Пример:
найдём дисперсию и стандартное отклонение отметок ученика, заданных таблицей частот.
Отметка | \(2\) | \(4\) | \(5\) |
Число повторений | \(1\) | \(3\) | \(6\) |
Частота | \(0,1\) | \(0,3\) | \(0,6\) |
Из таблицы видно, что всего у ученика десять отметок: одна двойка, три четвёрки и шесть пятёрок.
Найдём среднее арифметическое отметок: .
Среднее арифметическое квадратов, как и среднее арифметическое самих оценок, можно вычислять либо с использованием числа повторений:
либо с использованием частот:
Теперь вычислим дисперсию:
и стандартное отклонение: .
Обрати внимание!
Почти все отметки ученика отличаются от среднего меньше чем на \(S\), т. е. он учится вполне стабильно. Одна двойка, которая выпадает из этого диапазона, по-видимому, для него случайная.