Теория:
В теории вероятностей математическое ожидание показывает, вокруг какого числа колеблются значения случайной величины при бесконечно большом количестве экспериментов. Для двух важнейших дискретных распределений — биномиального и геометрического — существуют простые и красивые формулы, которые позволяют найти это среднее значение, не производя громоздких вычислений.
1. Математическое ожидание биномиального распределения
Биномиальное распределение описывает количество успехов в серии из фиксированного числа независимых испытаний.
Мы проводим \(n\) одинаковых независимых испытаний. В каждом испытании вероятность наступления события (успеха) постоянна и равна \(p\). Случайная величина \(X\) — общее количество успехов.
Математическое ожидание случайной величины \(X\), имеющей биномиальное распределение с параметрами \(n\) (количество испытаний) и \(p\) (вероятность успеха), вычисляется по формуле:
\(E(X)=n⋅p\).
Другими словами, если мы подбросим монету \(100\) раз (\(n = 100\), \(p = 0,5\)), логично ожидать, что в среднем выпадет \(50\) орлов. Формула \(100 · 0,5 = 50\) подтверждает это.
Если же мы бросаем игральный кубик \(60\) раз и считаем выпадение шестёрки успехом (), то в среднем мы ожидаем увидеть шестёрку раз.
2. Математическое ожидание геометрического распределения
Геометрическое распределение описывает количество испытаний до первого успеха.
Мы проводим последовательность независимых испытаний до тех пор, пока впервые не произойдёт событие (успех). Вероятность успеха в каждом испытании постоянна и равна \(p\). Случайная величина \(Y\) — число проведённых испытаний (включая то, в котором наступил успех).
Математическое ожидание случайной величины \(Y\), имеющей геометрическое распределение с параметром \(p\) (вероятность успеха), вычисляется по формуле:
.
Пример:
Представь, что мы пытаемся поймать редкую рыбу. Если вероятность поймать рыбу при каждой попытке равна \(0,2\), то нам потребуется в среднем \(1 : 0,2 = 5\) попыток. Важно понимать, что это среднее значение: кому-то может повезти с первого раза, а кто-то будет ждать \(10\) или \(15\) попыток, но в долгосрочной перспективе среднее арифметическое количества попыток будет стремиться к \(5\).