Теория:
Случайная величина — любая числовая величина, связанная со случайным экспериментом.
Важная числовая характеристика случайной величины — её среднее значение.
Обрати внимание!
В теории вероятностей среднее значение случайной величины называют математическим ожиданием случайной величины.
Математическое ожидание случайной величины \(X\) обозначают \(E(X)\) или \(EX\).
Все возможные значения случайная величина принимает с соответствующей вероятностью и главное свойство закона распределения: сумма всех вероятностей значений случайной величины равна \(1\).
Для вычисления математического ожидания необходимы данные о значении случайной величины и её вероятности.
Пример:
покажем вычисление математического ожидания на примере отметок по итоговой контрольной работе (по предмету «Теория вероятностей и статистика») всех учеников одной из школ. Предположим, что всего учеников, написавших итоговую контрольную работу, было \(200\).
В табличной форме для наглядности заполним значение полученных отметок и соответствующее им количество учеников. \(X\) — случайная величина, её значения полученная отметка.
Значения \(X\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
Количество учеников | \(20\) | \(60\) | \(80\) | \(40\) |
Вычислим средний балл.
\(=\) 3,7.
Полученный средний балл — это математическое ожидание случайной величины, в данном примере — математическое ожидание отметки.
Заметим, что это же математическое ожидание отметки можно вычислить, используя вероятность.
Добавим в таблицу третью строку и вычислим вероятность каждой отметки.
Значения \(X\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
Количество учеников | \(20\) | \(60\) | \(80\) | \(40\) |
| Вероятность | \(0,1\) | \(0,3\) | \(0,4\) | \(0,2\) |
Математическое ожидание отметки равно: \(=\) 3,7.
Пример:
Математическое ожидание продолжительности жизни (средняя продолжительность жизни) — важнейший демографический показатель. Страховые компании используют его для расчёта взносов: чем выше риск (например, для курильщика), тем выше математическое ожидание выплат и, следовательно, выше стоимость страховки.