1. Равномерный закон распределения: от теории к практике анализа случайных величин

В окружающем мире часто встречаются ситуации, где случайная величина ведёт себя по определённому сценарию: у неё есть чёткие нижняя и верхняя границы, но внутри этого интервала невозможно выделить более предпочтительные значения. Классические примеры: время ожидания транспорта, если известно, что интервал движения составляет ровно \(10\) минут (пассажир приходит на остановку в случайный момент), или погрешность округления чисел.

 

Математическая модель, описывающая такие явления, где плотность вероятности постоянна на всём промежутке возможных значений, называется непрерывным равномерным распределением.

 

Говорят, что непрерывная случайная величина \(X\) имеет равномерное распределение на отрезке \([a;b]\), где \(a<b\), если её вероятность не меняется на любом участке внутри этого отрезка, а за его пределами равна нулю.

 

Параметры распределения:

 

\(a\) — левая граница интервала (минимальное значение);

\(b\) — правая граница интервала (максимальное значение).

 

Сокращённая запись: \(X∼R[a;b]\) или \(X∼U[a;b]\) (от лат. uniformis — единообразный).

 

Главная характеристика непрерывного распределения — плотность.

 

 

Для равномерного закона фигура под графиком имеет вид прямоугольника, площадь которого всегда равна \(1\) (общая вероятность). Высота прямоугольника рассчитывается как $\frac{1}{b-a}$, чтобы при умножении на длину основания \((b−a)\) получить единицу.

Функция распределения \(F(x)\), показывающая вероятность того, что величина примет значение меньше заданного \(x\), для равномерного закона нарастает линейно:

 

 

  

1. Математическое ожидание (среднее значение): это центр отрезка.

 

$E(X)=\frac{a+b}{2}$.

 

2. Дисперсия (мера разброса): показывает, насколько значения разбросаны относительно центра. Для равномерного распределения разброс зависит только от длины интервала.

 

$D(X)=\frac{{(b-a)}^2}{12}$.

 

3. Среднее квадратичное отклонение:

 

$\mathrm{\sigma }(X)=\frac{b-a}{2\sqrt{3}}$.

 

Одно из ключевых практических умений — расчёт вероятности того, что равномерно распределённая величина окажется в некотором диапазоне \([c;d]\), который находится внутри основного отрезка \([a;b]\). Геометрически эта вероятность равна отношению длины искомого отрезка к длине всего интервала.

 

$P(c\le X\le d)=\frac{d-c}{b-a}$.

 

Интуитивный смысл: раз все значения равновозможны, то вероятность пропорциональна длине участка.