Серии независимых испытаний. Случайные величины — урок. Вероятность и статистика, 11 класс.

Повторим основной материал, изученный ранее.

Раздел 1. Серии независимых испытаний
1.1. Бинарный случайный опыт

В теории вероятностей часто встречаются эксперименты, у которых существует лишь два возможных исхода. Такой опыт называют бинарным. Условно эти исходы именуют успех и неудача.

Успех — это наступление события, вероятность которого нас интересует (вероятность $p$).
Неудача — противоположный исход (вероятность $q=1-p$).

Пример:

Подбрасывание монеты — это бинарный опыт. Если мы считаем успехом выпадение орла, то $p=0,5$, $q=0,5$.

1.2. Независимые испытания. Схема Бернулли

Независимые испытания — это последовательность опытов, в которой вероятность того или иного исхода в каждом следующем испытании не зависит от результатов предыдущих.

Схема Бернулли (испытания Бернулли) — это математическая модель, которая описывает серию независимых испытаний, обладающую тремя главными признаками:

каждое испытание имеет только два исхода (успех/неудача);
испытания проводятся в одинаковых условиях: вероятность успеха $p$ постоянна от опыта к опыту;
испытания независимы.

1.3. Формула Бернулли

Главная задача при изучении серий независимых испытаний — вычислить вероятность того, что в серии из $n$ испытаний успех наступит ровно $k$ раз (неважно, в каком порядке).

Расчёт производится по формуле Бернулли:

P_{n} (k) = C_{n}^{k} \cdot p^{k} \cdot q^{n - k}

, где

C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}

— число сочетаний из $n$ по $k$ (показывает, сколькими способами можно выбрать $k$ успешных испытаний из $n$);

$p$ — вероятность успеха в одном испытании;

$q=1-p$ — вероятность неудачи.

Раздел 2. Случайные величины
2.1. Понятие случайной величины

До сих пор мы говорили о вероятностях случайных событий. Однако результат опыта часто удобнее описывать не словами («выпал орёл», «попал в мишень»), а числом. Такая числовая характеристика, которая ставится в соответствие каждому исходу случайного эксперимента, называется случайной величиной.

Обрати внимание!

Пока опыт не проведён, мы не можем точно сказать, какое значение примет случайная величина. Её значение меняется от испытания к испытанию непредсказуемо.

2.2. Виды случайных величин

Случайные величины делятся на два основных типа:

Дискретные. Множество их возможных значений конечно (или их можно пересчитать). Пример: число выпавших гербов при трёх бросках ($0$, $1$, $2$, $3$); количество учеников, опоздавших на урок.
Непрерывные. Они могут принимать любое значение из некоторого промежутка (конечного или бесконечного). Их нельзя перечислить поштучно. Например: рост человека; время ожидания автобуса на остановке; температура воздуха.

2.3. Закон распределения

Задать случайную величину — значит не просто перечислить все её возможные значения, но и указать вероятность каждого из них. Это соотношение называется законом распределения.

Для дискретной величины закон распределения чаще всего задают в виде таблицы (ряда распределения):

Значение $X$	$x_{1}$	$x_{2}$	...	$x_{n}$
Вероятность $P$	$p_{1}$	$p_{2}$	...	$p_{n}$

Ключевое свойство: сумма всех вероятностей в ряде распределения всегда равна $1$. Это означает, что какой-то исход из перечисленных обязательно произойдёт.

Вернуться в тему

Следующая теория

1. Серии независимых испытаний. Случайные величины

Теория: