Теория:
1. Основные понятия
Случайный опыт (эксперимент) — это процесс, результат которого невозможно точно предсказать до его проведения.
Примерами могут служить: бросание монеты, извлечение карты из колоды, измерение роста случайного человека.
Исход (элементарное событие) — это один из возможных результатов случайного опыта.
Множество всех исходов обозначается \(Ω\) (омега) и называется пространством элементарных исходов.
Случайное событие — это любое подмножество пространства элементарных исходов \(Ω\).
Событие считается произошедшим, если в результате опыта реализовался один из исходов, входящих в это подмножество.
Пример:
Опыт — бросание игрального кубика.
\(Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}\).
Событие \(A =\) «выпало чётное число» \(= {2, 4, 6}\).
Событие \(B =\) «выпало число, большее \(4\)» \(= {5, 6}\).
\(Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}\).
Событие \(A =\) «выпало чётное число» \(= {2, 4, 6}\).
Событие \(B =\) «выпало число, большее \(4\)» \(= {5, 6}\).
2. Виды событий
Достоверное событие — событие, которое происходит в любом опыте (совпадает с \(Ω\)).
Невозможное событие — событие, которое никогда не происходит (пустое множество \(∅\)).
Несовместные события — события, которые не могут произойти одновременно в одном опыте.
Противоположное событие (дополнение) — событие \(Ā\), которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие \(A\).
3. Классическое определение вероятности
Вероятность события \(A\) в классической схеме вычисляется по формуле:, где:
\(n\) — число всех равновозможных исходов опыта;
\(m\) — число исходов, благоприятствующих событию \(A\).
Условия применения
Конечное число исходов.
Все исходы равновозможны.
Исходы образуют полную группу (одновременно несовместны и покрывают все возможности).
Пример:
В опыте с бросанием кубика:
\(n = 6\) (все грани).
Для события \(A =\) «выпало чётное число»: \(m = 3\) (\({2, 4, 6}\)).
\(P(A) = 3/6 = 0,5\).
\(n = 6\) (все грани).
Для события \(A =\) «выпало чётное число»: \(m = 3\) (\({2, 4, 6}\)).
\(P(A) = 3/6 = 0,5\).
4. Основные свойства вероятности
\(0 ≤ P(A) ≤ 1\) — для любого события \(A\).\(P(Ω) = 1\) (вероятность достоверного события равна \(1\)).
\(P(∅) = 0\) (вероятность невозможного события равна \(0\)).
\(P(Ā) = 1 - P(A)\) (вероятность противоположного события).
Если события \(A\) и \(B\) несовместны, то \(P(A ∪ B) = P(A) + P(B)\).