2. Средние характеристики: какая лучше?

Определить, какая из представленных ранее характеристик лучше, невозможно, поскольку выбор наиболее подходящей характеристики зависит от контекста конкретной ситуации. Давай рассмотрим преимущества и недостатки различных средних характеристик.

 

Мы уже отмечали ранее, что числовой ряд может быть лишён моды. Более того, даже если мода присутствует, её значение может быть малоинформативным или искажённым, что не даёт точного представления о характере числового набора.

В то же время, когда требуется выбрать одно значение из всего набора данных (как в случае определения лучшей книги года или при выборе победителя конкурса), мода действительно становится наиболее подходящей характеристикой.

 

  

Среднее арифметическое — наиболее распространённая из этих характеристик.

 

Средний балл по определённому предмету, среднесуточная температура, средняя производительность на производстве — все эти примеры величин рассчитываются по формуле среднего арифметического.

 

Для приведённого выше набора чисел среднее арифметическое равно $\frac{(1+1+3+4+6+8+9+12)}{8}$ \(=\) 5,5, и это гораздо больше согласуется с интуитивным понятием среднего.

 

Среднее арифметическое имеет важное физическое значение: оно представляет собой «центр тяжести» всего числового ряда. Для наглядного понимания этого концепта мы можем представить числовую ось с точками из нашего набора данных и добавить к каждой точке одинаковые грузики (с учётом повторяющихся чисел). При вычислении среднего арифметического и установке опоры в этой точке вся система находится в равновесии.

 

Однако у среднего арифметического есть и недостатки. Оно чувствительно к выбросам — экстремально малым или большим значениям в числовом ряду.

 

Этот недостаток среднего арифметического зачастую может искажать весьма важную информацию. Самый известный пример такого рода — средняя зарплата.

 

  

Медиана, в отличие от среднего арифметического, нечувствительна к выбросам. Если расположить все значения набора данных на числовой оси, а потом двигать крайнюю правую точку вправо, то среднее арифметическое (центр тяжести) тоже будет смещаться вправо, а вот медиана будет стоять на месте! То же самое будет, если двигать минимальное из чисел влево.

 

Такое свойство называют устойчивостью медианы. В примере с зарплатами медиана будет давать гораздо более объективное представление о материальном положении сотрудников на данном предприятии. Неслучайно в современных статистических сводках и отчётах средний доход и средняя зарплата всё чаще уступают место медианным показателям.

 

Если директору предприятия захочется сказать: «На нашем предприятии медианная зарплата превышает \(100~000\) руб.», то ему придётся повысить до этого уровня заработную плату хотя бы половины своих сотрудников.

 

Так, может быть, медиана и есть идеальный средний показатель? К сожалению, это не так. Как часто бывает, достоинства медианы являются одновременно и её слабым местом. Обратимся к числовой оси. Если как угодно двигать точки слева от медианы, не перескакивая через неё, то она не изменится. То же самое для точек справа. Так ли это хорошо? Пока речь шла о крайних значениях, устойчивость играла положительную роль, но, когда медиана не реагирует и на другие изменения, описанные выше, это становится недостатком.

 

Рассмотрим два числовых набора:

 

Медианы обоих наборов будут равны \(3\). Но если рассматривать эти наборы как оценки двух учеников, то у второго они явно лучше. Об этом говорят и средние арифметические, равные соответственно \(2,6\) и \(3,8\). Очевидно, первый ученик еле дотягивает до тройки, а второй, возможно, достоин четвёрки.