Теория:
В предыдущем пункте мы рассмотрели ситуации, когда два события могут произойти одновременно. Однако в теории вероятностей не менее важен случай, когда одновременное наступление событий невозможно.
Два события называют несовместными, если они не могут произойти одновременно ни при каком исходе эксперимента.
Иными словами, у них нет общих благоприятствующих исходов.
На диаграммах Эйлера несовместные события изображаются в виде непересекающихся фигур — их области не имеют общих точек.
Рис. \(1\). Несовместные события
Формула сложения для несовместных событий
Если события \(A\) и \(B\) несовместны, то вероятность наступления хотя бы одного из них (объединения) равна сумме их вероятностей:
.
Это ключевая формула для работы с несовместными событиями. Обрати внимание: она применима только к несовместным событиям. Если события могут произойти одновременно, использовать простое сложение нельзя — потребуется более общая формула, которую мы рассмотрели в предыдущем пункте.
Пример:
Антон планирует провести отпуск на море. Вероятность того, что Антон проведёт отпуск в России, равна \(0,5\). Вероятность того, что Антон поедет в отпуск в Турцию, равна \(0,4\). Определи вероятность того, что Антон проведёт отпуск в России или Турции.
События «Антон проведёт отпуск в России» \((A)\) и «Антон проведёт отпуск в Турции» \((B)\) не могут произойти вместе — они несовместны. Найдём вероятность того, что Антон проведёт отпуск в России или Турции: .
Противоположные события как частный случай несовместных
Важным частным случаем несовместных событий являются противоположные события.
Два события называют противоположными, если в каждом испытании происходит ровно одно из них, причём других исходов нет.
Такие события принято обозначать \(A\) и (читается: «не \(A\)»).
Противоположные события всегда несовместны, но не всякие несовместные события являются противоположными. Для противоположных событий выполняется соотношение:
\(P(A)+P(\)\()=1\).
\(P(A)+P(\)\()=1\).
\(A\), либо , а их несовместность гарантирует, что мы не учитываем вероятность дважды.
Пример:
у Клавы перегорела лампочка в квартире, и она пошла в магазин купить новую. Вероятность того, что Клава купит бракованную лампочку, равна 0,07. Найди вероятность того, что она купит исправную лампочку.
События «лампочка бракованная» и «лампочка исправная» являются противоположными, так как других вариантов нет и они не могут наступить одновременно. Следовательно, вероятность купить исправную лампочку составляет:
.
Подведём итог.
- Несовместные события — события, которые не могут произойти одновременно. Для них справедлива формула сложения: \(P(A∪B)=P(A)+P(B)\).
- Противоположные события — частный случай несовместных событий, которые вдвоём исчерпывают все возможные исходы. Для них выполняется равенство:
\(P(A)+P(\)\()=1\).
- Важно различать эти понятия: все противоположные события являются несовместными, но не всякие несовместные события являются противоположными.
Источники:
Рис. 1. Несовместные события. © ЯКласс.