Теория:
Математическое ожидание случайной величины \(X\) обозначается \(E(X)\) и вычисляется по формуле где
— значение случайной величины \(X\);
— вероятности соответствующих значений случайной величины.
Рассмотрим практическое применение математического ожидания на примере лотерейных билетов.
Пример:
Когда человек покупает лотерейный билет стоимостью \(150\) рублей, у него появляется возможность получить выигрыш от двух тысяч до двух миллионов рублей.
Вычислим шансы выигрыша.
Вероятность значения случайной величины \(X\) указана в таблице (данную информацию можно вывести из условий проведения лотерейного розыгрыша).
Значения \(X\) (руб.) | \(0\) | \(2000\) | \(20000\) | \(2000000\) |
Вероятность | \(0,98899\) | \(0,01\) | \(0,001\) | \(0,00001\) |
Вычислим математическое ожидание выигрыша \(E(X) =\) \(=\) 60.
При стоимости билета \(150\) рублей средний выигрыш на один билет составляет \(60\) рублей. Значит, организаторы лотереи в среднем получают доход в размере \(=\) 90 рублей. А покупатель билета эту сумму проигрывает.
Аналогично математическое ожидание рассчитывается при страховании. Рассчитывая математическое ожидание, можно определить ожидаемый доход компании от продажи одного полиса. А можно определить и минимальную стоимость страховки с учётом желаемой прибыли. Рассмотрим на примере.
Пример:
Сумма выплаты при наступлении страхового случая равна \(20000\) рублей.
Вероятность наступления страхового случая — \(0,01\).
Определим минимальную стоимость страховки при среднем доходе от одного клиента не менее \(200\) рублей.
Сумма выплаты — случайная величина, обозначим её \(X\). Вероятность выплаты \(20 000\) рублей равна \(0,01\). А вероятность не выплачивать сумму (т. е. \(0\) рублей) равна \(1 - 0,01 = 0,99\).
Покажем распределение в таблице.
| Значения \(X\) | \(20 000\) | \(0\) |
Вероятность | \(0,01\) | \(0,99\) |
Вычислим математическое ожидание, выражающее среднюю выплату компании в расчёте на одного клиента (без учёта того, произошёл страховой случай или нет):
\(E(X) =\) \(=\) 200.
Значит, компенсация затрат должна быть не менее 200 рублей. Поэтому минимальная стоимость страховки при среднем доходе от одного клиента не менее \(200\) рублей должна быть \(200 + 200 = 400\) рублей.