Теория:
Медиана чаще всего близка или равна среднему арифметическому числового набора. Однако так бывает не всегда. Если в числовом наборе есть выбросы — резко отличающиеся от всего набора значения, — то медиана и среднее арифметическое могут сильно различаться. Таким образом, медиана устойчива относительно выбросов, в отличие от среднего арифметического, и может дать более точное представление о числовом наборе, чем среднее арифметическое.
Допустим, у нас есть набор из \(10\) чисел. Важно помнить, что если мы изменяем одно число в этом наборе (перемещаем его), то среднее арифметическое будет двигаться в том же направлении, но в \(10\) раз медленнее. Но вот как будет вести себя медиана? Лучше всего проиллюстрировать это на примере.
Пример:
рассмотрим группу чисел, включающую в себя первые \(10\) натуральных чисел: \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\), \(9\), \(10\). Среднее значение и значение медианы идентичны и составляют \(5,5\).
1. При увеличении последнего числа на \(10\) среднее арифметическое возрастает на \(1\), достигая значения \(6,5\), тогда как медиана остаётся неизменной (\(5,5\)), поскольку она определяется только двумя серединными числами, \(5\) и \(6\), которые остаются стабильными. Если увеличить последнее число на \(100\), среднее арифметическое увеличится ещё на \(10\) и станет равным \(16,5\). В этом случае медиана также останется прежней.
2. Увеличив первое число на \(10\), мы получаем \(11\). Среднее значение будет увеличено на \(1\) и станет \(6,5\). Изменение в вариационном ряду повлекло за собой изменение медианы. Серединными числами новой последовательности являются \(6\) и \(7\), а не \(5\) и \(6\), как ранее. Следовательно, медиана теперь составляет \(6,5\). Даже если увеличить первое число на \(100\), медиана уже не изменится. Новая последовательность чисел будет выглядеть так: \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\), \(9\), \(10\), \(111\), где среднее значение равно \(16,5\), а медиана останется \(6,5\).
Медиана в современной статистике является очень полезной мерой центра благодаря своей устойчивости к выбросам. Это свойство было наглядно продемонстрировано на простом примере, в котором один выброс оказал слабое влияние на медиану. Даже существенное отклонение одного значения из набора не может сильно «сдвинуть» медиану с её места.