Теория:
Буквенные обозначения позволяют доказать в общем виде свойства средних, с которыми мы уже сталкивались в некоторых задачах.
Свойство \(1\). Если каждое число числового набора увеличить или уменьшить на одно и то же число, то и среднее арифметическое этого набора тоже соответственно увеличится или уменьшится на это число.
Возьмём набор .
Прибавим к каждому из чисел набора число \(a\):
Среднее арифметическое получившегося числового набора находим, преобразовывая дробь в сумму:
То есть после преобразований мы получим среднее арифметическое исходного числового набора, увеличенное на \(a\), что и требовалось доказать.
Пример:
через год кружок по математике посещают уже ученики \(7\), \(8\), \(9\) классов. Миша снова решил узнать средний возраст учеников, которые пришли на занятие. Спустя год возраст всех учеников увеличился на \(1\). В прошлом году набор данных был таким:
, где \(x_1=11\) возраст первого ученика, \(x_2=14\) возраст второго ученика и т.д. Средний возраст был равен \(13,2\).
В этом году набор данных станет таким .
Найдем среднее арифметическое чисел этого набора.
.
Найдём разницу средних возрастов.
\(=\) 1.
Как видим, средний возраст учеников, тоже увеличился на \(1\).
Свойство \(2\). Если каждое число числового набора увеличить или уменьшить в одно и то же количество раз, то и среднее арифметическое этого набора тоже соответственно увеличится или уменьшится в это же количество раз.
Снова возьмём тот же набор .
Умножим каждое число набора на \(b\) и преобразуем получившееся выражение для вычисления среднего арифметического для нового числового набора:
,
получим среднее арифметическое исходного числового набора, изменённое в \(b\) раз, что и требовалось доказать.