Теория:
Пусть в наборе \(N\) чисел, но среди них только \(k\) различных значений: . Пусть значение встречается раз, значение встречается раз, и т. д.: значение встречается ровно раз. Тогда среднее арифметическое набора
Сумма произведений значений числового массива на их частоты равна среднему арифметическому массива, согласно теореме.
Для иллюстрации возьмём различные числа и умножим на их частоты, затем сложим результаты:
Получилось среднее арифметическое. Теорема доказана.
Пример:
возьмём для изучения группу элементов, в которой имеются одинаковые показатели.
Так, например, можно рассмотреть оценки по математике, полученные учеником за триместр:
Всего \(20\) оценок. Для получения конечной оценки за триместр учитель сначала делит сумму всех чисел на \(20\), а затем находит среднее арифметическое. Но это не единственный способ действий, можно поступить по-другому.
Составим таблицу значений и их частот.
Значение | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
Частота | \(0,05\) | \(0,3\) | \(0,4\) | \(0,25\) |
А теперь найдём среднее арифметическое — умножим значения на их частоты и сложим произведения:
\(=3,85\).
Обрати внимание!
Благодаря функционалу, предоставляемому редакторами электронных таблиц, можно быстро производить вычисления суммы произведений и их частот. Для этого есть функция СУММПРОИЗВ().
Рис. \(1\). Решение задачи из примера
Источники:
Рис. 1. Таблица. © ЯКласс.