Правило умножения — урок. Вероятность и статистика, 8 класс.

Правило умножения вероятностей. Условная вероятность. Независимые события

3. Правило умножения

Теория

Пример:

в коробке \(6\) жёлтых и \(4\) зелёных маркера. Один за другим достают два маркера. Необходимо посчитать вероятность того, что первым будет жёлтый, а после — зелёный маркер.

Вероятность первым извлечь жёлтый маркер равна

\frac{6}{6 + 4} = \frac{6}{10}

. После этого в коробке останется \(5\) жёлтых маркеров и \(4\) зелёных. Значит, теперь вероятность достать зелёный маркер равна

\frac{4}{5 + 4} = \frac{4}{9}

. Это условная вероятность.

Для простоты обозначим цвета заглавными буквами \(Ж\) и \(З\) и по правилу умножения получаем

P (Ж \cap З) = P (Ж) \cdot P (З |Ж) = \frac{6}{10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{24}{90} = \frac{4}{15} .

То есть, если выразить отсюда условную вероятность, получим формулу для её нахождения.

В случае, когда вероятность события \(B\) больше нуля,

P (A |B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}

Пример:

в ТЦ стоят два автомата, которые предлагают приобрести пончики. Вероятность того, что к окончанию дня пончики закончатся в каждом автомате отдельно, равна \(0,4\). В двух автоматах сразу пончики заканчиваются с вероятностью \(0,25\). В вечернее время подходит мастер для обслуживания автоматов и обнаруживает, что в первом автомате пончики закончились. Какой теперь будет вероятность того, что во втором автомате пончики также закончились?

Пусть событие \(A\) — «пончики закончились в первом автомате», \(B\) — «пончики закончились во втором автомате».

По условию

P (A) = 0,4; P (A \cap B) = 0,25 .

Нужно найти

P (B |A)

P (B |A) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)} = \frac{0,25}{0,4} = 0,625 .

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующее задание