Теория:
Рассмотрим ещё один инструмент для решения задач на нахождение вероятности — дерево случайного опыта. Наряду с диаграммами Эйлера дерево позволяет наглядно представить условия данного опыта.
Дерево — разновидность графа. Вспомним его определение.
Дерево — это связный граф без циклов.
Рис. \(1\). Дерево
Теперь рассмотрим пример и построим дерево случайного опыта.
Пример:
стрелок стреляет по мишени и с вероятностью \(0,8\) может попасть в мишень. Найди вероятность того, что стрелок попал при первом выстреле, а при втором промахнулся.
Изобразим исходную точку (когда ещё не было ни одного выстрела) \(S\), а попадание или не попадание в цель обозначим точками \(P\) и \(H\) соответственно. Соединим точку \(S\) стрелками с точками \(P\) и \(H\).
Рис. \(2\). Дерево случайного опыта. \(1\) этап построения
Стрелки — это рёбра графа, а точки — вершины дерева.
Можно вместо стрелок изображать просто отрезки, так как направление движения для дерева всегда будет одинаковым, сверху вниз.
Обрати внимание!
Концевые точки дерева — это элементарные события эксперимента.
Рядом с рёбрами напишем вероятности событий. По условию, вероятность попадания равна \(0,8\). Возможны только два исхода, значит, вероятность противоположного события (промаха) равна:
\(1 - 0,8 = 0,2\).
Рис. \(3\). Дерево случайного опыта. \(2\) этап построения
Обрати внимание!
Важно проверять, чтоб сумма вероятностей около всех рёбер, выходящих из одной вершины, была равна \(1\).
Достроим дерево при условии двух выстрелов.
Рис. \(4\). Дерево случайного опыта. \(3\) этап построения
Найти вероятность события можно с помощью правила умножения вероятностей.
Чтобы найти вероятность события с помощью дерева случайного опыта, нужно найти произведение вероятностей вдоль цепочки, идущей от начальной вершины к вершине, изображающей нужное элементарное событие.
Найдём вероятность, что стрелок попал при первом выстреле, а при втором промахнулся.
\(=\) 0,16.
А если нам нужно узнать вероятность события «стрелок один раз попал и один раз промахнулся при двух выстрелах»? В этом случае нам подойдут две цепочки: попал первый раз, второй раз промахнулся и промахнулся первый раз, второй раз попал.
Тут действует правило сложения вероятностей.
Чтобы найти вероятность события с помощью дерева случайного опыта, нужно сложить вероятности всех цепочек, ведущих к этому событию от начальной вершины.
Найдём эту вероятность.
\(=\) 0,32.
Дерево случайного опыта позволяет структурировать условие задачи и наглядно представить себе всё событие.
Источники:
Рис. 1. Дерево. © ЯКласс.
Рис. 2. Дерево случайного опыта. \(1\) этап построения. © ЯКласс.
Рис. 3. Дерево случайного опыта. \(2\) этап построения. © ЯКласс.
Рис. 4. Дерево случайного опыта. \(3\) этап построения. © ЯКласс.