Теория:
Воспользовавшись свойствами математического ожидания, можно значительно упростить поиск его значения. Рассмотрим три основных свойства этого понятия.
Свойство \(1\). Пусть математическое ожидание случайной величины \(X\) равно \(EX\). Если \(a\) — произвольное число, то .
Свойство \(2\). Пусть математическое ожидание случайной величины \(X\) равно \(EX\). Если \(b\) — произвольное число, то .
Свойство \(3\). Пусть \(X\) и \(Y\) — две случайные величины, которые имеют математические ожидания. Тогда .
Теперь рассмотрим, как эти свойства работают на примере.
Рис. \(1\). Семья играет в настольную игру
Пример:
в настольных играх, где игроки бросают игральную кость по очереди, фишка игрока движется по игровому полю в зависимости от выпавших очков. Если мы спросим, насколько далеко игрок сможет продвинуться за десять ходов, точного ответа мы не получим. Возможно, игрок сможет продвинуться на \(60\) шагов, если выпадет десять шестёрок подряд. Но такая ситуация встречается крайне редко. Также редко выпадает десять единиц подряд. Вероятнее всего, за десять бросков на кости будут разные значения. Например, результаты десяти бросков могут выглядеть так: — или так: .
Сумма очков во второй серии из десяти бросков составляет \(29\), а в первой серии сумма равна \(40\). Возможно ли предсказать, какая будет средняя сумма?
Среднюю сумму можно теоретически вычислить как математическое ожидание случайной величины.
Сумма выпавших на кости очков за \(10\) бросков, обозначенная через \(S\), может быть выражена через . Тогда
Между наименьшим возможным продвижением на \(10\) шагов и наибольшим возможным на \(60\) лежит число, которое мы получили.
Источники:
Рис. 1. Семья играет в настольную игру. Лицензия Shutterstock (дата обращения 22.12.2023).